Теория случайных марковских процессов

Из фундаментальных соотношений теории случайных марковских процессов выведены стохастические интегродифференциальные (скачкообразные), разрывные (дискретно-непрерывные), диффузионные и матричные (дискретные в пространстве состояний по времени) модели кинетики изменения и механодеструкции, описывающие эволюцию дифференциальных функций числового распределения макромолекул полимеров по длинам. Проведен последовательный анализ выведенных уравнений кинетики механодеструкции. [c.39]

Большой интерес представляют работы [81 по определению механизма захвата выделяемых из потока твердых частиц (см., например, табл. 5.1) по аналогии с глубинными фильтрами для разделения суспензий. При этом рассматривается действие как гидродинамических сил (в частности, трения), так и сил поля (тяжести, центробежного, акустического, электрического и др.) при условии, что твердые частицы, извлекаемые из потока газа, имеют меньший размер, чем размер пор или отверстий в фильтрующей перегородке. Так, например, при выделении твердых частиц размером < 1 мкм необходимо учитывать диффузию когда 4 = 0,5 мкм, в потоке наблюдается броуновское движение, являющееся стохастическим процессом при > 20 мкм имеют значение силы инерции и силы тяжести.Характер движения частиц в промежуточной области приводит к необходимости учитывать наличие неуравновешенных сил сопротивления в пограничном слое потока, что представляет известные трудности. Можно согласиться с тем, что применение теории случайных марковских процессов [14] позволит получить наиболее удачную модель процесса. [c.211]

Кинетическое поведение физической системы, способной быстро забывать предысторию своего развития, описывается уравнением Фоккера-Планка (ФП). В данном разделе представлен вывод уравнения ФП на основе простейших понятий теории случайных марковских процессов /5,7/. [c.13]

Кинетическое уравнение (1.11) для функции f(n), полученное исходя из статистической теории флуктуаций, позволяет трактовать образование дисперсных частиц как некоторый случайный марковский процесс их рождения и гибели. Величина <т)(л)> при этом характеризует среднюю скорость систематического изменения числа частиц из п молекул в системе, величина D n) — меру интенсивности флуктуаций скорости их образования. [c.21]

Из теории случайных процессов известно, что, если цепь (2.7) марковская и вероятность перехода в момент I мала, то полная вероятность достижения определенного состояния пуассоновская и имеет вид (2.8) [c.62]

Предположим, серия наблюдений одной и той же броуновской частицы дает последовательность координат X,, Х ,. ... Каждое смещение + 1(рис. 4) случайно, но его распределение вероятности не зависит от предыстории, т. е. не зависит от Ху , .... Следовательно, марковским процессом является изменение не только скорости, но и координаты X частицы, измеренной в крупномасштабной шкале времени, что предписывается условиями эксперимента. Эта картина является основой теории броуновского движения, приведенной в 8.3. [c.80]

Можно проследить тесную связь между теорией марковских процессов и методами, излагавшимися выше. Цепями Маркова называют последовательности зависимых случайных событий, когда вероятность осуществления к-то события зависит от фиксированного числа предшествующих событий (в простейшем случае от одного к — 1)-го события). Для перенесения теории марковских процессов на исследование конформаций полимерной цепи следует допустить, что положение к-то звена (или к-ж мономерной единицы) можно рассматривать как событие, зависящее только от положения к — 1)-го звена. Для этого необходимо провести усреднение по всевозможным конформациям конца цепи, состоящего из (А + 1), к 4- 2),. .., М-то звеньев. Тогда условная вероятность перехода имеет вид [c.90]

Изучение реакций с участием макромолекул составляет большой раздел химической кинетики. Сюда относятся процессы сополимеризации, реакции замеш,ения и многие другие [26—29]. При описании подобных реакций обычно применяют теорию случайных процессов. Чтобы упростить задачу описания реакции типа замеш ения, макромолекулы рассматривают как бесконечно длинные цепочки, исключая таким образом влияние концов. В этом параграфе используется вероятностный подход к описанию кинетики реакций с участием макромолекул и дается применение теории марковских процессов к таким задачам. [c.157]

Самостоятельным разделом теории марковских процессов является теория массового обслуживания. Под обслуживанием понимают удовлетворение некоторой системой поступающих в нее требований (заявок). Например, система пожарного водоснабжения (обслуживающая система) и заявки на ее использование, представляющие собой требования на отбор воды для тушения пожаров в виде временной последовательности (входящего потока). Этот раздел прикладной математики наиболее перспективен при построении моделей функционирования (полезного эффекта) элементов системы пожарной защиты. Особенность задач теории массового обслуживания — случайный характер изучаемых явлений длительность обслуживания и интервалов между поступающими требованиями. [c.18]

Когда нас интересует не кинетика процесса, а вероятность образования различных изомеров в процессе замещения, можно воспользоваться теорией марковских процессов, если в качестве параметра случайного процесса рассматривать координату вдоль молекулы. [c.162]

Вообще говоря, под математической цепью можно понимать любую последовательность чисел или других математических объектов (например, символов, векторов, множеств и т. д.), между которыми существует какая-то взаимосвязь. А. А. Марков под цепью понимал последовательность случайных чисел, вероятности появления которых взаимосвязаны. Точнее, вероятность значения каждого последующего числа связана с предыдущим. Таким образом, здесь, как и в механической цепи, есть звенья-чнс-ла и связь между ними, только она не механическая, а математическая— вероятностная. В дальнейшем такие математические цепи были названы в науке марковскими. Конечно, то, что сейчас было сказано, нуждается в уточнениях и разъяснениях. Это и будет сделано нами в дальнейшем. Но стоит ли в популярной форме рассказывать читателям о математических цепях Мы не случайно назвали их замечательными. Дело в том, что наряду с другими видами математических моделей (а марковские цепи — это тоже математическая модель), таких, например, как дифференциальные уравнения, нормальный закон распределения случайных величин и т. д., обладающих поразительной универсальностью и применяемых поэтому в самых различных областях науки и техники, марковские цепи занимают вполне достойное место. Они не только дают возможность математически моделировать самые разнообразные явления в природе и технике, но и послужили основой для создания новых наук теории надежности, теории массового обслуживания и др. Кроме того, марковские цепи дали начало новому большому разделу теории вероятностей — теории случайных процессов. Но есть и другие причины появления этой книги. [c.4]

Как мы уже подчеркивали, в общем случае невозможно получить точное решение, например, для стационарной плотности вероятности системы, когда рассматривается шум произвольной формы. Дело обстоит так даже в довольно простом случае марковского гауссовского шума. Следовательно, общий случай внешнего цветного шума может быть рассмотрен лишь приближенными методами. Методы, развитые в гл. 8, позволяют исследовать два предельных случая — низкочастотного и высокочастотного внешнего шума. В частности, для последнего случая малых корреляционных времен в нашем распоряжении имеется метод разложения в ряд по теории возмущений. Этот метод использовался, чтобы показать, что фазовые переходы, индуцированные внешним шумом с малым временем корреляции, могут быть идентифицированы с переходами, исследованными в случае применения идеализации белого шума. Однако благодаря различию между двумя приближенными методами, используемыми для описания высокочастотного и низкочастотного шума, остается не ясным, каким образом переходы, предсказанные для случая быстрого шума, связаны с переходами, имеющими место в случае медленного внешнего шума. Желательно поэтому дополнить ту информацию, которая получается с помощью общих приближенных методов, информацией, полученной из изучения специальных классов внешнего цветного шума. Другими словами, полезно найти такие примеры Цветного шума, которые позволяют для произвольной системы с одной переменной точно вычислить по крайней мере стационарную плотность вероятности при любом значении времени корреляции. Как говорилось выше, гауссовский шум не принадлежит к этому классу. Следует обратиться к случайным процессам с более простой структурой, и вполне естественным кандидатом оказывается марковский процесс с дискретным пространством состояний. Простейшим процессом такого типа является дихотомический марковский шум, известный так же, как случайный телеграфный сигнал. В данной главе мы покажем, что он действительно позво ляет получить точные результаты и построить полную картину влияния корреляций. [c.324]

Для анализа качества функционирования систем в настоящее время применяют модели, основанные на принципах теории случайных или, в частном случае, марковских процессов. [c.18]

Вероятностно-статистические методы моделирования процесса смешивания компонентов в рассматриваемых смесителях основаны на предположении, что отдельные частицы перемещаются в рабочем объеме смесителя случайным образом. Для описания подобного процесса наиболее эффективно применять теорию дискретных в пространстве и непрерывных во времени марковских процессов. Для описания таких процессов применяют диффе- [c.145]

В данной главе показано, что переходы между ферментными формами мультиферментного комплекса могут рассматриваться как марковский процесс с конечным числом состояний и непрерывным временем [см. также Стефанов, 1975]. Учет этого обстоятельства позволяет при анализе функционирования мультиферментных комплексов использовать методы теории вероятностей и случайных процессов. Кроме того, вероятностная интерпретация функционирования ферментов дает возможность в ряде случаев получить необходимые соотношения, пользуясь простыми вероятностными соображениями. [c.72]

Марковский процесс. Теорию марковских процессов можно применить для анализа линейных колебаний, если функция корреляции является дельта-функцией (пара и, и = образует марковский процесс). Весьма важная характеристика случайного процесса р (и, и, t) — плотность распределения случайных величин ими — выражается через начальное распределение (и , и ) [c.562]

Выражение (1.4) занимает очень важное место в теории цепей Маркова и называется уравнением Колмогорова — Чепмена по именам математиков, получивших их независимо друг от друга. Эти уравнения относятся к классу так называемых рекуррентных соотношений, позволяющих вычислить вероятности состояний марковского случайного процесса на любом шаге при наличии информации о предшествующих состояниях. [c.41]

Раньше уже говорилось о том, что марковскими цепями хорошо описывается поведение той или иной системы при действии каких-либо случайных причин. Большинство современных технических устройств представляют собой более или менее сложные системы. Поэтому изучение процесса поведения таких систем с помощью теории марковских цепей дает возможность исследовать их надежность. Учет различных случайных причин позволяет прогнозировать, предвидеть поведение системы в будущем. И оказывается, что такие технические прогнозы с большой точностью сбываются. [c.122]

Из фундаментальных соотношений теории случайных марковских процессов выведены стохастические интегродифференциальные (скачкообразные), разрывные (дискретно-непрерывные), диффузионные и матричные (дискретные в пространстве состояний по времени) модели кинетики механодеструкции, описывающие эволюцию дифференциальных функций числового распределения макромолекул полимеров по длинам. Проведен последовательный анализ выведенных уравнений кинетики механодеструкции. Он показал, что при некоторых упрощающих предположениях решениями этих уравнений являются известные в литературе функции распределения Пуассона, Танга, Кремера-Лансинга и др. С помощью математического аппарата теории дискретных марковских процессов построены модели кинетики структурных превращений в ферритах -шпинелях, активированных в планетарных машинах разработана обобщенная модель кинетики механорасщепления зерен на примере природного полисахарида - крахмала. Из основного кинетического уравнения Паули выведены стохастические модели ряда элементарных химических реакций, протекающих в дисперсных системах при механическом нагружении частиц твердой фазы. Проведен анализ выведенных уравнений и выявлены преимущества статистического метода описания кинетики химических реакций перед феноменологическим. [c.19]

Инженерные методики расчета барабанных впбросмесите-лей в настоящее время разработаны недостаточно глубоко, как это сделано, например, для виброконвейеров и виброгрохотов. Для проектирования оптимальных вибросмесителей используют математические модели, которые учитывают структуру потока частиц внутри смесительной камеры, режимные параметры, геометрию перемешивающего органа, свойства компонентов смеси. Большинство математических моделей основывается на теории случайных марковских процессов [48]. [c.168]

Следовательно, наблюдаемое в реальных однородных системах образование зародышей можно объяснить только флуктуациями, приводяш ими систему в термодинамически невыгодное состояние. Поэтому для описания кинетики этого процесса приходится использовать либо вероятностные методы теории случайных процессов, либо статистико-механический подход. В классической феноменологической теории пуклеации, ведущей свое начало от работ Гиббса, Беккера, Деринга и изложенной в монографии Я. И. Френкеля [1], рост зародыша рассматривался как случайный марковский процесс. При этом для функции распределения зародышей по размерам было получено кинетическое уравнение типа Фоккера — Планка, обычно именуемое уравнением Беккера [c.147]

В однородном взвешенном слое, полученном при пропускании через твердую зернистую фазу восходящего потока жидкости, можно проанализировать основные характеристики движения и взаимодействия обеих фаз с помощью теории случайных (марковских) однородных процессов, используя диффузионную модель [44, 45]. Штейдл [46] показал, что только статистический подход может дать знание таких основных характеристик, как пороз- [c.243]

Изучение структуры зародышей и их взаимодействий приводит к становлению теории кластеров [105, 106]. Широким фронтом ведутся работы по нестационарной и неизотермической теории зародышеобразования, обзор дан в работе [107]. Развиваются статистические подходы на основе математической теории случайных процессов — пуассоновских [108], марковских [109], привод5шщх к описанию зародышеобразования уравнениями типа Фоккера — Планка [107, 108], [c.826]

Рассмотрим ячейку нашей метастабильной системы, в объеме которой содеря-гится п -f 1 атомов кристаллизуемого вещества. Символом Ео обозначим состояние этой ячейки, когда в ней содержится п -Ь 1 неассоциированных атомов, символом El — состояние ячейки, когда в ней образуется один кластер из двух атомов, — один кластер из трех атомов. Наконец, iE n i — критический зародыш, Еп —устойчивый зародыш. Вероятностью образования в нашей элементарной ячейке одновременно двух и более кластеров, содержащих менее тг/2 ато MOB, мы пренебрегаем так же, как возможностью кооперативных процессов типа слияния нескольких зародышей и распада их на части. Это считается слабым местом схемы последовательных, одиночных переходов (схема случайных блужданий), однако учет кооперативных явлений в теории нуклеации не разработан [22]. В принципе влияние кооперативных процессов можно проанализировать, используя схемы более общих ветвящихся марковских процессов 1145], но это значительно затрудняет сложный математический анализ процесса. С дру- [c.30]

ЗЕсли возникшие центры кристаллизации влияют на скорость образования последующих центров [10], то общи поток моментов зарождения иредставляет собой с математической точки зрения ветвящийся марковский случайный процессе, описанный в соответствующих руководствах по теории случайных процессов [125, 126]. [c.35]

А что будет, если временные отрезки между переходами из состояния в состояние не подчиняются показательному закону, хотя марковское свойство сохраняется Так чаще всего и бывает, ведь реальные явления в жизни далеко не всегда подчиняются удобным для нас законам. Оказывается, и такие явления можно моделировать с помощью теории марковских случайных процессов, но теперь их называют уже полумарковскими. Картину полумарков-ского процесса можно наглядно представить снова с помощью той же игры тише едешь, дальше будешь следующим образом. Раньше, чтобы узнать, на сколько шагов нам можно переместиться в игре, мы бросали кубик один раз. Это и был своеобразный розыгрыш состояния. Теперь же в полу марковском процессе после розыгрыша состояния надо бросить кубик еще раз, чтобы определить, сколько же времени мы пробудем в этом состоянии. Это будет теперь розыгрышем времени пребывания в состоянии. Конечно, в случае полумарковского процесса математический аппарат усложняется, но зато моделируется более широкий класс явлений. Вспомним еще одно важное обстоятельство. Все приведенные выше примеры относились к марковским случайным процессам, с прерывистыми (дискретными) состояниями. Но всегда ли это так Конечно, нет. Если вернуться к нашему примеру с автотуристами, то изменение скорости каждого автомобиля будет случайной, непрерывно изменяющейся величиной. Изобразим на рис. 3 зависимость скорости нескольких автомобилей от времени на отрезке пути, где нет ограничений в скорости. Очевидно, для каждого водителя (автомобиля) она окажется разной из-за отклонений в регулировке спидометра, искусства водителя, дорожных условий и т. д., хотя и будет колебаться около какого-то среднего значения, например 90 км/ч. Каждый отдельно взятый график скорости какого-то автомобиля — как бы отдельное волокно из пряди — называется реализацией случайного процесса. [c.27]

Теория индуцированных шумом переходов базируется на современной математической теории случайных процессов. Большое место в книге (гл. 2—5) уделено изложению основных положений теории вероятностей, марковских диффузионных процессов и стохастических дифференциальных уравнений. От имеющейся литературы, посвященной изучению этих вопросов, книгу В. Хорстхемке и Р. Лефевра выгодно отличают доступность и большая ясность изложения. Авторы не перегружают свое изложение деталями математических доказательств, но в то же время сохраняют уровень строгости, позволяющий затронуть самые современные результаты теории случайных процессов. Это математическое введение, ориентированное на решение конкретных задач, представляет большую ценность. В особенности хотелось бы отметить очень четкое разъяснение областей применимости и сущности различий интерпретаций стохастических дифференциальных уравнений по Ито и по Стратоновичу. Всякий раз, когда дельта-коррелированный белый шум в стохастическом дифференциальном уравнении является идеализацией случайного процесса с очень малым, но все же конечным временем корреляции, необходимо использовать интерпретацию Стратоновича. [c.6]

Излагая в предыдущей главе основы теории марковских процессов, мы мотивировали свой выбор эвристическими соображениями, суть которых сводится к тому, что временная эволюция параметра состояния Хг системы, связанной со случайной средой, является марковской в том и только том случае, если внешний шум белый. Вид феноменологического уравнения с гауссовским белым шумом (особенно уравнения (4.13)) наводит на мысль о выделении особого класса марковских процессов — так называемых диффузионных процессов. Представимость сред с гауссовским белым шумом диффузионными процессами будет полностью обоснована, если нам удастся показать, что понятию решения стохастического дифференциального уравнения может быть придан строгий математический смысл и что марковский процесс действительно удовлетворяет условиям (4.16, 19, 20), как это следует на эвристическом уровне из уравнения в дифференциалах (4.13). В этой главе мы подробно изложим теорию стохастических дифференциальных уравнений Ито и Стратоновича и укажем тесную связь СДУ с диффузионными процессами. [c.115]

Случайная функция Ж 1) описывает стационарный марковский процесс флуктуаций локальных полей. Согласно теории случайных процессов, поведение во времени некоторой случайной функции у 1) определяется двумя вероятностями вероятностью 1 у) найти у в области (у, у ау) и совместной вероятностью 2 у уг, х)йу4У2 найти у в интервале значений (Уи У ( у ) [c.77]

Используемые ниже факты относительно стохастических ядер и построения с их помощью марковских процессов содержатся в стандартных курсах теории случайных процессов (см., например Гихман, Скороход [1, гл. 3, 5 гл. 7, 1]). [c.527]

Из теории случайных процессов известно.что если цепь 14.7 марковская,и шдюлтноет . перехода n момент t мала,то полная [c.199]

Теперь предстоит решить, каким образом определить изменение параметров аг во времени под влиянием случайных сил 8г- Онсагер и Махлуп применили метод, который мы не станем здесь описывать, и, используя общую теорию марковских процессов гауссова типа, показали (см. также [4, 52]), что наиболее вероятная траектория параметров во времени определяется уравнением [c.172]

Разработаны для перемонтируемых систем четыре алгоритма преобразования ФАЛ [204] разрезания, ортогонализации, табулизации и схемно-логический. Для ремонтируемых систем применяется аппарат теории марковских случайных процессов. [c.160]

Одна из вероятностных теорий основана на концепции о динамическом равновесии процессов разрушения и восстановления пассивной пленки и хорошо выраженном статистическом характере питтинговой коррозии. Процесс возникновения питтинга во времени протекает случайно и может быть интерпретирован как марковский или стохастический процесс, в соответствии с которым зарождение питтинга означает гибель или повреждение образца, теряющего свои функции по поддержанию пассивного состояния. Обратный этому процесс — стохастический процесс рождения, который соответствует репассивации питтинга или выживанию образца. [c.99]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология