Системы конечных уравнений

В табл. 1 дана характеристика областей применения различных методов оптимизации, при этом за основу положена сравнительная оценка эффективности использования каждого метода для решения различных типов оптимальных задач. Классификация задач проведена по следующим признакам 1) вид математического описания процесса 2) тип ограничений на переменные процесса и 3) число переменных. Предполагается, что решение оптимальной задачи для процессов, описываемых системами конечных уравнений, определяется как конечный набор значений управляющих воздействий (статическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами), а для процессов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, управляющие воздействия характеризуются функциями времени (динамическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами) или пространственных переменных (статическая оптимизация процессов с распределенными параметрами). [c.34]

Система конечных уравнений (11,40) и (11,41), а также (11,9) является математическим описанием реактора с псевдоожиженным слоем катализатора при условии, что в нем отсутствует проскок пузырей и происходит полное перемешивание. [c.47]

Величину функционала / теперь можно считать функцией конечного набора значений х, (/ == О, 1,. . ., N) н ее экстремум может быть найден решением системы конечных уравнений [c.221]

По сравнению с методо-ориентированными пакетами широкого назначения специализированные пакеты значительно проще в эксплуатации. Внутренняя логическая связь модулей и совершенство численных методов существенно облегчают обязанности потребителя. В рассматриваемом случае, все, что необходимо,— это представление математического описания для системы конечных уравнений в виде [c.273]

Следует отметить, что исследование объектов, описываемых дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциаль-ными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу. Поэтому в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными или интегральными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, но имеющему так называемую ячеечную структуру. Формально замена непрерывного объекта дискретным эквивалентна замене дифференциальных уравнений разностными соотношениями, а интегральных — алгебраическими уравнениями. При этом для объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, математическое описание представляют в виде системы конечно-разностных уравнений. Для процессов, характеризуемых дифференциальными уравнениями в частных производных, результатом является система дифференциально-разностных уравнений. При подобных преобразованиях исходной системы уравнений, естественно, допускается погрешность, которую необходимо учитывать при оценке результатов моделирования. [c.202]

Принцип максимума оказывается справедливым также и для дискретных оптимальных систем, но в ослабленной форме Пусть процесс определяется следующей системой конечных уравнений [c.191]

Блоки с сосредоточенными параметрами. Под блоками с сосредоточенными параметрами (СП-блоки) будем понимать блоки, математические описания которых представлены системами конечных уравнений. [c.133]

Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов с распределенными параметрами и задач динамической оптимизации (см. главу IV, стр. 148). При этом вместо решения системы конечных уравнений для отыскания оптимума необходимо интегрировать систему дифференциальных уравнений. [c.31]

В результате система, конечных уравнений запишется в.виде [c.81]

Метод неопределенных множителей можно с успехом использовать в задачах оптимизации многостадийных процессов с сосредоточенными параметрами, т. е. процессов, описываемых системами конечных уравнений. В качестве иллюстрации приведем многостадийный процесс, схематическое изображение которого показано на рис, IV-2. [c.163]

Предположим, что каждая стадия указанного процесса описывается системой конечных уравнений, [c.163]

Математический аппарат принципа максимума, рассмотренный в настоящей главе, является весьма мощным средством решения задач оптимизации. Как правило, решение оптимальной задачи при этом сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений или для системы конечных уравнений, соответствующих математическому описанию многостадийного процесса. Само по себе решение краевой задачи также может представлять определенные трудности, однако их "преодоление во многом компенсируется теми результатами, получение которых еще более осложняется при использовании иных методов оптимизации. В этом смысле принцип максимума оказывается одним из универсальных средств решения оптимальных задач для процессов, описываемых [c.404]

Исследование объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, методом математического моделирования представляет иногда весьма трудную вычислительную задачу. Поэтому в ряде случаев вместо математического описания объекта дифференциальными уравнениями его характеризуют системой конечных уравнений, для чего от непрерывного объекта с распределенными параметрами переходят к дискретному с сосредоточенными параметрами, по имеющему ячеечную структуру. Формально математически замена непрерывного объекта дискретным эквивалентна замене дифференциальных уравнений разностными соотношениями. При этом для объектов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, математическое описание представляют в виде системы конечно-разностных уравнений. Для процессов, характеризуемых дифференциальными уравнениями в частных производных, результатом является система дифференциально-разностных уравнений. [c.128]

До сих пор предполагалось, что каждый блок описывается системой конечных уравнений. Будем теперь полагать, что каждый блок является системой с распределенными параметрами и описывается системой обык- [c.32]

При данной величине максимальной погрешности экспериментальных данных AF для укороченной системы [88] можно указать некоторый оптимальный порядок N, при котором величина pW определяется из системы конечных уравнений [88] с точностью, соответствующей точности задания величин или Оценку величины A opt для системы [88] можно получить из уравнения замкнутости, считая, что все интегралы, входящие в него, можно вычислить но формулам механических квадратур типа [85]. [c.286]

Блоки с сосредоточенными параметрами (с. п.) описываются системами конечных уравнений [c.21]

Соотношения (XII,3) и (XII,4) могут трактоваться как система уравнений для определения неизвестных промежуточных цен и 0 . Легко проверить, что число уравнений в этой системе равно числу неизвестных. Решение данной системы обеспечит выполнение соотношений (1,11), т. е. задача согласования входных и выходных переменных блоков схемы будет решена. Система уравнений (XII,3) и (XII,4) является системой конечных уравнений, для решения которых могут быть использованы метод Ньютона, метод Вольфа (см. стр. 83) и другие методы. Отметим еще раз, что для того чтобы подсчитать левые части этих уравнений, необходимо при фиксированных и найти оптимальные режимы всех блоков. [c.300]

Из примеров 22.1—22.4 видна главная особенность описаний стационарных процессов в аппаратах идеального смешения это системы конечных уравнений. Описания подобных процессов могут состоять из алгебраических уравнений (первые два примера) или содержать трансцендентные уравнения (уравнения Аррениуса в двух последних примерах), но не содержат операторов дифференцирования. Это [c.132]

Для случая, когда аналитический вид соотношений (IX, 1) и (IX,2) известен и не слишком сложен и если, в особенности, число независимых переменных п невелико, всегда можно с большим или меньшим успехом использовать для решения оптимальной задачи аналитические методы, ио крайней мере, для того, чтобы свести ее решение к решению системы конечных уравнении. Примеры решения подобных задач уже приводились (см. главы III и IV). Кроме того, вьиие также был описан весьма важный класс задач, когда соотношения (IX, 1) и (IX,2) являются линейными, для решения которых применяется математический аппарат линейного программирования (см. главу VIII). [c.480]

Если система (IX. 40) нелинейна или трансцендентна, то нахождение a y осуществляется итерационными методами, рассмотренными на стр. 221—231. Как уже указывалось, затраты машинного времени на определение коэффициентов уравнений- статики типа (IX. 40) на 2—4 порядка меньше по сравнению с задачей нахождения минимума Ф(а) со связями в форме дифференциальных соот-ношрний (IX. 3). Вследствие этого появляется возможность задать ряд начальных условий для преобразованной системы конечных уравнений, найти соответствующие минимумы функции Ф(а) типа (IX. 5), выбрать среди них точку глобального минимума сА и рассматривать ее как начальное приближение для решения задачи определения параметров дифференциальных уравнений (IX. 3). [c.239]

Математическое бписание насадочной колонны состоит из системы уравнений, определяющей распределение концентраций в потоках пара и жидкости по высоте колонны. В зависимости от типа используемых уравнений это может быть либо система конечных уравнений (ячеечная модель), либо система дифференциальных уравнений (модели идеального вытеснения и диффузионная). Поскольку для ячеечной модели получаемые соотношения аналогичны ранее рассмотренным для тарельчатой колонны с ячеечной структурой потока жидкости на тарелке, ниже приводится лишь математическое описание для моделей идеального вытеснения и диффузионной. [c.265]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология