Метод вариационный эффективность

Для решения задач оптимизации химико-технологических процессов обычно используют методы нелинейного программирования (поисковые методы) [1, 3] и методы теории оптимального управления вариационного исчисления [4], динамического программирования 15], принципа максимума Понтрягина [6], дискретного принципа максимума 17]. Наибольшее распространение получили поисковые методы как наиболее гибкие и универсальные. Эти методы находят также широкое применение при решении задач идентификации (определение некоторых коэффициентов уравнений, представляющих собой математическую модель исследуемого процесса). Кроме того, поисковые методы могут быть эффективно использованы при синтезе оптимальной структуры химико-технологических систем, который в общем случае представляет собой задачу дискретно-непрерывного программирования в частности, они могут быть использованы при получении нижних оценок в методе ветвей и границ (см. гл. VI). [c.14]

Еслн расчет методом конфигурационного взаимодействия проводится при различных значениях R и если он сопровождается вариационным определением эффективного заряда ядра, то для Нг получается равновесное межъядерное расстояние 1,45 ат. ед. Полная энергия при таком межъядерном расстоянии равна [c.218]

Таким образом, даже тогда, когда уравнение Эйлера существует и можно найти его общий интеграл, зто еще не означает, что получено решение исходной оптимальной задачи. Лишь относительно узкий круг задач с достаточно гладкими решениями и хорошими ограничениями позволяет успешно применять методы вариационного исчисления. В остальных же случаях более эффективными оказываются такие методы, как динамическое программирование и принцип максимума. [c.243]

В приближенных методах решения краевых задач (например, в сеточных и вариационных методах) геометрическая информация учитывается соответственно либо в виде числовых массивов, либо с помощью построения координатных последовательностей базисных функций, удовлетворяющих краевым условиям. Однако, как упоминалось выше, серьезным препятствием на пути широкого применения классических вариационных методов являются трудности в выборе координатных последовательностей, когда сложность области сочетается со сложностью граничных условий. Наряду с методом конечных элементов эффективный способ преодоления указанных трудностей состоит в использовании так называемых Я-функций [37—42]. [c.12]

В восьми главах книги рассмотрение ведется только на примере переноса тепла. Однако как физические, так и математические аспекты данного вопроса гораздо шире. Поэтому, чтобы показать другие возможности метода, в книге дается приложение. Показано применение вариационного подхода в таких областях физики, как массообмен и термодинамика необратимых процессов. Приводится иллюстрация применения метода Лагранжа к анализу задачи термоупругости. Очевидна также возможность применения данного метода к вязким жидкостям при использовании классической диссипативной функции Релея. Аналогичные методы можно применять также для описания электромагнитных явлений. Показаны более широкие математические возможности анализа, основанного на понятии скалярного произведения. Данное понятие представляет собой эффективное средство преобразования в функциональном пространстве. Оно включает такие методы, как преобразование линейных дифференциальных уравнений в нелинейные с помощью координат типа глубины проникновения. Такое рассмотрение дает возможность свести в единую систему различные методы, известные в прикладной математике под разными названиями. Кроме того, существование порога разрешения в физических задачах позволяет дать более реалистическое определение понятия полноты для обобщенных координат, которое учитывает дискретный характер вещества в противоположность математической модели континуума. [c.22]

Разработана теория оптимального управления каталитическими процессами на основе принципа максимума Понтрягина и прямых вариационных методов. Для каталитических реакций с падающей активностью катализатора проведено качественное исследование оптимальных управлений, разработаны эффективные численные алгоритмы оптимизации и решен ряд промышленно важных задач. [c.4]

Например, вариационным методом с самосогласованным полем (метод Фока), вариационным методом с эффективным потенциалом электрон-электронного взаимодействия (метод Хюккеля) и т, д. [c.78]

Результаты расчета методом валентных связей тоже можно улучшить, проводя вариационное определение эффективного заряда ядра при каждом межъядерном расстоянии. Таким способом находят, что минимум энергии соответствует значению R = 1,44 ат. ед., а полная энергия прн этом оказывается равной — 1,1389 ат. ед. (энергия диссоциации 0,1389 ат. ед.). Зна- [c.215]

Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе динамического программирования, где с их [c.31]

Каждое ограничение добавляет еще одно уравнение и на каждое ограничение вводится один множитель Лагранжа. Следует отметить, что множители Лагранжа используют также в качестве вспомогательного средства и при решении специальными методами задач других классов с ограничениями типа равенств, например, в вариационном исчислении и динамическом программировании. Особенно эффективно применение множителей Лагранжа в методе программирования, где с их. помощью иногда удается снизить размерность, решаемой задачи. [c.144]

На примерах, приведенных в 2.1, мы видели, что эффективность вариационного метода зависит от выбора пробных функций. В качестве последних часто рассматривают точки линейного функционального пространства, которое, как на базисе, строится на нескольких произвольно выбранных линейно-независимых функциях их линейные комбинации и являются точками указанного функционального пространства. [c.35]

Если провести вычисления методом валентных связей с учетом конфигурационного взаимодействия в зависимости от межъядерного расстояния R, включив в них вариационное определение эффективного заряда ядра I, то результаты оказываются идентичными с полученными методом молекулярных орбиталей при учете конфигурационного взаимодействия. Численное опре-дел ие коэффициентов приводит к одинаковым волновым функциям. Этот результат имеет общий характер если исходить из заданного базисного набора, то молекулярно-орбитальный подход с полным учетом конфигурационного взаимодействия приводит к таким же результатам, как и метод валентных связей с полным учетом конфигурационного взаимодействия. [c.219]

Рассмотрим эффективность применения принципа максимума и прямых вариационных методов для решения задач оптимизации [c.115]

При расчетах напряжений и деформаций в конструкциях ВВЭР широкое применение находят методы теории оболочек и пластин, аналитические методы решения краевых задач в зонах концентрации напряжений, а также численные методы решения с применением ЭВМ (методы конечных элементов, конечных разностей, вариационно-разностные и граничных интегральных уравнений). Эффективность применения численных методов резко увеличивается, когда решаются задачи анализа термомеханической нагруженности сложных по конструкции узлов ВВЭР (плакированные корпуса и патрубки, элементы разъема, контактные задачи с переменными граничными условиями, элементы главного циркуляционного контура при сейсмических воздействиях). [c.8]

При решении задач о номинальной и местной напряженности реакторов ВВЭР обычно приходится использовать комбинации указанных выше методов - сопротивления материалов, теории пластин и оболочек, аналитических и численных методов. Среди последних весьма эффективны вариационные методы - метод конечных элементов (см. 4 настоящей главы) и вариационно-разностный метод. [c.55]

Оказалось, что наиболее эффективный путь решения этих двух задач заключается в применении вариационного метода. [c.69]

Примененную нами волновую функцию можно улучшить двумя способами. Прежде всего, как показывает рис. 4.4, электронное облако в молекуле сжато больше, чем в соответствующем атоме. Это означает, что в качестве фл и фв следует пользоваться АО, подобными (4.19), но с эффективным ядерным зарядом се. На языке вариационного метода это означает [41], что нужно выбрать пробную функцию вида [c.100]

Другим эффективным методом решения задач оптимального резервирования ХТС является градиентный [231]. Основная идея этого метода состоит в том, что значение экстремума критерия эффективности отыскивается последовательными шагами из начальной точки, oпpeдeлJ eмoй исходным вектором состава поэлементного резерва ХТС Хо, в направлении градиента критерия. При этом для решения вариационной задачи не требуется знать аналитическое выражение для критерия эффективности, а необходимо иметь лишь значения критерия и его первых частных производных в точках, расположенных на траектории движения к экстремуму КЭ и определяемых векторами состава поэлементного резерва ХТС X(i), где I — номер шага оптимального поиска. [c.206]

В заключение общей характеристики перечисленных статей нужно подчеркнуть следующее. Содержание этих статей, несомненно, отражает современное состояние квантовой химии, являющейся важнейшей составной частью квантовой механики сложных атомно-молекулярных систем. Однако современная квантовая химия далека от своего завершения несмотря на уже довольно большой период своего развития, она еще делает только первые шаги. В частности, не ясно, насколько обоснован предпринимаемый сейчас в квантовой химии перенос на сложные молекулярные системы тех математических приемов и методов, которые оказались эффективными нри расчете простейших квантовомеханических систем. По нашему мнению, надежда на прямые вариационные методы расчета сколько-нибудь сложных молекул является в значительной мере иллюзорной. Возможно, что дальнейшее развитие [c.7]

Мы уже пытались рассматривать водородоподобные атомы с одним валентным электроном путем введения эффективного заряда ядра. Подробное изложение этого вопроса не является целью данного введения. Однако здесь будут коротко описаны два метода расчетов. Первый метод используется в модели самосогласованного поля (ССП) и в вариационной технике. Второй метод использует подход (гл. 4), основанный на теории возмущений. Запишем уравнение Шредингера в форме [c.190]

Для реализации дискретных моделей могут использоваться как различные вычислительные устройства (АВМ или ЭВМ — см. также 4), так и разнообразные численные схемы — конечно-разностные или вариационно-разностные. Конечно-разностная аппроксимация обычно наиболее эффективно осуществляется в рамках метода переменных направлений [26], а вариационно-разностная — в рамках метода конечных элементов [17, 20, 24]. Важным вопросом при построении любой дискретной модели является обоснование детальности пространственной разбивки области фильтрации, тесно связанное с выбором оптимального масштаба рассмотрения обратной задачи. [c.283]

Отсюда видно, что эффективность вариационного метода зависит от выбора пробных функций. Часто используют иную модификацию этого метода, когда искомую функцию представляют в виде линейной комбинации некоторого (конечного ) числа линейнонезависимых функций (х ) (1= 1, 2,. .., Ы), не обязательно ортонормированных [c.71]

Судя но литературным источникам [20, 24], при наличии мощных ЭВМ наиболее эффективным путем решения рассматриваемой калибрационной задачи является использование метода конечных элементов, который уже по своим исходным (вариационным) принципам направлен на отыскание минимума некоторого функционала. При применении этого метода выражению (10.32) для калибрационного критерия (в случае, когда Фа = 0) придается вид [c.289]

Для приближенного решения уравнения Шредингера широко используют вариационный метод и теорию возмущений. Они важны не только как эффективные вычислительные методы, поскольку содержат в себе элементы натурфилософии. Вопросы теории возмущений в данной главе мы не рассматриваем, они будут затронуты в последующих главах. [c.33]

При изложении методов решения рассмотрены следующие вопросы 1) преобразование Лапласа — Карсона, принцип соответствия и его численная реализация 2) вычисление эффективных модулей 3) асимптотические методы механики композитов — метод гомогенизации и метод Бахвалова — Победри 4) метод осреднения в динамических задачах 5) эффекты дисперсии и затухания волн в полимерах и композитах 6) динамические эффекты, связанные с неоднородностью конструкций 7) вариационные постановки краевых и начально-краевых задач и их реализация по методу конечных элементов 8) принципы построения автоматизированной системы научных исследований (АСНИ) на базе метода конечных элементов 9) метод конечных разностей 10) метод характеристик и метод геометрической оптики для слабо неоднородных комнозитов. [c.6]

Рассмотрим теперь метод [32], позволяющий достаточно эффективно находить минимум и не требующий ре-шенпя этой вспомогательной задачп. Мы уже отмечали, что вырождение минимума функции цели илп его плохая обусловленность проявляется в плохой обусловленности вариационной матрицы правой части системы (3.158). При интегрировании таких жестких систем лучшие результаты (но сравнению с разностными методами) дают методы, основанные на аппроксимации исходной градиентной системы более простыми и легко интегрируемыми системами. Такая аппроксилшция достигается за счет линеаризации правой части системы (3.158). Прп этом минимизация проводится на траектории спстемы [c.220]

Для атомов щелочных металлов расчеты дисперсионной эиергии в приближении Хартри — Фока могут претендовать лишь на правильный порядок величины. Поскольку поляризуемость щелочных атомов определяется в основном волновой функцией валентного электрона, весьма эффективным при расчетах оптических характеристик оказался метод модельных потенциалов, а также метод квантового дефекта [41—45]. В качестве модельных потенциалов, используемых для вычисления поляризуемостей и других характеристик щелочных атомов, применяются потенциалы Кратцера [46] и Саймонса [47]. Для этих потенциалов найдены аналитические формулы для поляризуемости [48], сумм сил осцилляторов [49], проведены вариационные расчеты [50]. Таблицы постоянных Сб, Сд, Сю для систем атом щелочного металла — атом инертного газа приведены в работе [45]. [c.96]

Гибридные функции можно найти при помощи вариационного метода. Причем для гибридизации помимо небольшого различия в энергиях исходных орбиталей требуется близость угловых направлений гибридизирующихся орбиталей в местах перекрывания, т. е. эффективное их перекрывание. [c.86]

В разобранных ранее простейших системах значения энергии получены в результате строгого решения уравнения Шредингера. В большинстве случаев, однако, не известны ни вид волновой функции, ни энергия электрона. В таком случае наиболее эффективным путем решения является использование вариационного метода, разработанного В. Ритцем. Для начала введем новый оператор — оператор Гамильтона, или гамильтониан, который показывает, какие операции следует выполнить с волновой функцией [c.98]

К числу эффективных методов анализа напряженно-деформированных состояний в элементах реакторов относятся численные методы — метод конечных элементов (МКЭ) и вариационно-разностный метод (ВРМ), метод граничных интегральных уравнений ( ГИУ), получивхше значительное развитие в последнее десятилетие благодаря их повышенной универсальности и появлению ЭВМ с большими быстродействием и памятью. Конечноразностный метод получил применение при определении термоупругих напряжений в зонах патрубков реакторов водо-водяного типа [10,12]. [c.35]

Предпринимались попытки определить коэффициент извилистости и с помощью глобулярных моделей. Методом усреднения траекторий молекул вокруг шаров при молекулярной диффузии было получено соотношение р = 1 — (4 — я) (1 — е) /п. Для кнудсеновской диффузии авторами [124] было предложена зависимость Р = л/з/е- Используя вариационный метод двойственных оценок с помощью модели хаотично расположенных сфер, автор [125] получил верхнюю оценку коэффициента диффузионной проницаемости для молекулярной диффузии /7 = е/( 1 — 0,5 1п е). Сравнение экспериментальных данных с правой частью этого соотношения показало эффективность оценки. Из изложенного следует, что коэффициенты извилистости и КДП, определенные различными методами, обусловливаются моделью пористой структуры, которая используется для рассмотрения диффузии в пористых катализаторах. Тем не менее можно говорить о том, что теоретические методы позволяют получить правильную качественную оценку для этих коэффициентов. С достаточным основанием можно считать, что КДП является нелинейной функцией пористости вида П — г1(г). Обработка опубликованных в литературе экспериментальных данных позволила оценить интервалы изменения КДП промышленных катализаторов 0,25е < Я < е/(1 — 0,51пе) 0,1е < Якн < 0,5е и средние значения Ям = 0,5е, Лкн = 0,25е. Различие средних оценок и интервалов изменения КДП можно считать согласием с выводом о различии КДП для разных режи- [c.165]

Выло установлено, что ковалентная связь возникает в том случае, когда осуществляется эффективное перекрывание атомных орбиталей (условия образования ионной связи будут рассмотрены в другом месте). Это обстоятельство можно использовать для качественной оценки характера связи в молекулах без цроведения расчетов вариационным методом или методами теории возмущений. [c.167]

Радиальные уравнения. В предыдущем разделе было дано выражение для эффективных сечений через матрицу Т. Элементы этой матрицы можно было бы вычислить методами теории возмущений. Однако этот путь не всегда удобен и, кроме того, часто является совершенно недостаточным. Другая возможность состоит в вычислении радиальных волновых функций / г°(г). Тогда матричные элементы Ггго определяются граничными условиями (43.14). Функции являются решениями радиальных уравнений, которые можно вывести с помощью вариационного принципа аналогично выводу уравнений Хартри — Фока для состояний дискретного спектра. [c.594]

Стремление описать соединения с молекулярной связью на основе представлений о валентности породило т. н. метод наложения валентных структур или Резонанса теорию. Прп использовании этого метода как расчетного (т. е. при иредставлении полной волновой функции в виде суммы волновых функций отдельных структур) он может оказаться весьма эффективным, так как увеличение количества базисных фургеций в расчетах по вариационному принципу yщe iвeннo улучшает результаты. [c.317]

Расчеты Колоса и Вольниевича не только подтвердили эффективность вариационного метода, но и показали, что при точном решении уравнения Шрёдингера получающиеся результаты находятся в согласии с экспериментом. Поэтому нет сомнения, что уравнение Шрёдингера дает правильное описание свойств молекул, по крайней мере в случаях, когда не важны релятивистские эффекты, хотя зачастую невозможно получить его решение с той точностью, которая достижима в экспериментальных исследованиях. [c.104]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология