Прямая сумма

Исключение составляют два оператора - полный орбитальный момент количества движения Ь и полный спиновой момент количества движения 8. Они симметричны, коммутируют между собой, с оператором Но и поэтому могут быть использованы для классификации базисных состояний конфигурации. Особое значение такой классификации связано с тем, что операторы Ь и 8 коммутируют не только с оператором Но, но и с оператором кулоновского взаимодействия электронов. Любой базис конфигурации, в котором операторы и 8 оказываются диагональными, носит название схемы А5-связи, здесь конфигурация представляет собой прямую сумму Г/, 5-подпространств совместных собственных функций операторов и 8 . Схема 15ч вязи - это такой базис конфигурации, который получается объединением базисов, представляющих подпространства Г/,5. На базис / 5 никаких ограничений не наклады- [c.130]

Задание базиса в пространстве Ж означает представление пространства Ж в виде прямой суммы одномерных подпространств. [c.6]

Пусть пространство Ж размерности п представлено в виде прямой суммы т подпространств [c.8]

Если т собственных чисел оператора Ь совпадают меж/ у собой, то соответствующие одномерные инвариантные относительно Ь подпространства однозначно не определяются. Однозначна определяется только их прямая сумма, т.е. инвариантное относительно , подпространство размерности, равной кратности вырождения т собственного числа. [c.10]

Иными словами, прямое произведение ЗС пространств ЗС и ЗС разлагается в прямую сумму [c.24]

В таком базисе термы конфигурации оказьшаются представленными прямой суммой уровней с / = /, + 5,. .., 1X - 5 1. [c.131]

Разложения каждого отдельного прямого произведения в прямую сумму выполняется по тем же правилам. После этих преобразований приходим к следующей формуле [c.207]

Во-вторых, масса атома на самом деле несколько отличается от прямой суммы масс протонов и нейтронов. [c.23]

Следовательно, представление Г при подходящем выборе базиса переходит в прямую сумму двух неприводимых представлений Г и Г . [c.210]

Пусть имеется ряд взаимоисключающих возможностей, что выражается разложением пространства состояний в прямую сумму попарно ортогональных подпространств Я = 0 где Q = 1,. .., г) — [c.85]

Введём особый класс операторов — измеряющие операторы. Пусть есть пространство состояний Л/ й 1С, причем первый сомножитель разложен в прямую сумму попарно ортогональных подпространств М = [c.86]

На графике зависимости найденных экспериментально сдвигов полос поглощения в ИК-спектре изучаемого вещества в неполярных растворителях от функции их диэлектрической проницаемости (ег—1)/(2ег+1) отрезок, отсекаемый прямой на оеи координат, отвечает Си а тангенс угла наклона прямой — сумме (С2 + С3). Константы Сг и Сз можно затем определить с помощью уравнения (6.10), измерив сдвиги в ИК-спектрах в полярных растворителях. [c.455]

Прямое суммирование, использованное выше соответствует введению в рассмотрение представления так называемого составного пространства Лиувилля. В реальных ситуациях мы можем вполне обосновано предположить, что ядерные спиновые функции, относящиеся к различным молекулам, не коррелируют. Тогда всю систему можно полностью описать операторами плотности О] 3 отдельных компонент. Составляя прямую сумму этих операторов, можно получить составной оператор плотности [c.94]

Наличие нулевых элементов в матрице С(ф) позволяет факторизовать ее, т. е. представить в виде прямой суммы (см. приложение 2) двух матриц [c.71]

Заметим, что Е на самом деле можно факторизовать на три одномерные единичные матрицы.) Если рассматривать С ф) как матричное представление произвольной операции вращения группы R(3), то эту матрицу можно выразить в виде трехмерного представления, как в записи (З.А2), либо в виде прямой суммы двумерного и одномерного представлений, как в записи (З.А7). (Заметим, однако, что сказанное относится только к вращению вокруг оси г.) Если рассматривать Е как матричное представление тождественного преобразования группы R(3) (операция, которая оставляет систему неизменной), то эту матрицу можно выразить в виде трехмерного представления, как в записи (З.А1), либо в виде прямой суммы двумерного и одномерного представлений, как в записи (З.А8), и, наконец, в виде прямой суммы трех одномерных представлений. Однако если мы хотим, чтобы представления были характерными для всей группы в целом, то трехмерным вращениям С( ) следует сопоставлять трехмерное представление, двумерным вращениям С Ф)— двумерное представление, а одномерным вращениям С(ф) — одномерное представление. Матрицу С ф) удается факторизовать на одномерные компоненты лишь в особом случае, когда ф == пп. [c.72]

Сопряженно-транспонированная матрица ф Прямая сумма [c.402]

Отметим, что в такой сумме компоненты второго базиса записывают после компонент первого. Другими словами, обычная векторная сумма является суммой векторов, имеющих один и тот же базисный набор, а прямая сумма включает два взаимно исключающих базисных набора, но ее результат представлен в расширенном базисном наборе, содержащем базисы каждого из векторов суммы. В специальных целях иногда используются суммы, в которых имеет место частичное перекрывание базисных наборов. У нас не представится случая использовать их. [c.404]

Прямая сумма двух матриц подобна прямой сумме двух векторов, и для ее обозначения используется тот же символ Ф. В такой сумме предполагается расширение базиса. При этом расширяется и размерность матрицы. Однако в данном случае предполагается, что новые элементы не зависят от остальных. Матричные элементы на строках одной матрицы и столбцах других матриц, и наоборот, обязательно равны нулю. Например, если имеются матрицы [c.406]

О матрице вида (2.12) говорят, что она имеет блок-диагональ-ную форму. Она состоит из меньших матриц (блоков) вдоль главной диагонали и из нулей в остальной части. Всякую блок-диагональную матрицу можно представить как прямую сумму субматриц. [c.406]

Помимо прямой суммы матриц существует еще простая сумма матриц с одинаковой размерностью. Это просто матрица, полученная суммированием эквивалентных элементов двух исходных матриц. [c.406]

Прямая сумма. Сумма двух векторов, матриц или тензоров, размерность которой больше, чем у каждого из слагаемых. В прямой сумме слагаемые не имеют в базисах общих компонент. Новая размерность результата равна сумме размерностей слагаемых. [c.461]

Интерпретируя возникшую ситуацию с привлечением базисных функций, мы приходим к выводу, что новый набор функций фг можно разбить на совокупности функций число функций в каждой из них отвечает размерности соответствующей субматрицы. Каждая функция, принадлежащая определенной совокупности, преобразуется под действием операций симметрии данной группы лишь в другие функции этой же совокупности. Если обозначить исходное /п-мерное представление символом Г, можно сказать, что мы осуществили его разложение приведение) на составляющие Гь Гг, Г. Формально это может рассматриваться как преобразование исходного представления Г в прямую сумму [c.126]

Если подпространства Ж и Ж" в Ж ортогонапьны, и их прямая сумма есть все пространство Ж, то Ж" назьтается ортогональным дополнением кЖ (и Ж - ортогональным дополнением к Ж"). [c.6]

Если пространство ЗС представлено в виде прямой суммы подпространств, инвариантных относительно L, то блочная матрица этого оператора будет блочно диагональной, т.е. все не диагональные блоки представляют собой нулевые матрицы. В этом случае диагональный блок будет определять в инвариантном подпространстве оператор, который называется сужением оператора L на инвариантное подаространство. [c.9]

В случае линейного самосопряженного оператора L с чисто дискретным спектром все пространство Ж можно представить в виде прямой суммь одномерных инвариантных относительно L пространств. Это означает, что можно ввести такой ортонормированный базис, в котором матрица оператора L будет диагональна. Элементами этого ортонорми-рованного базиса являются собственные вектора оператора Ь, а элементами диагональной матрицы собственные числа оператора L. [c.9]

В общем случае оператор момента количества движения J есть прямая сумма неприводимых, т.е. все пространство ЗС, в котором действует оператор J, разлагается в прямую сумму подпространств ЗСу/, инвари-антны> относительно оператора, а его сужение i(y/) на является неприводимым оператором момента количества движения веса/ [c.15]

Суммарный оператор момента количества движения всегда будет приводимым. Поэтому возникает задача его разложения в прямую сумму неприводимых, т.е. задача построения канонического базиса. В общем случае эта задача решается неоднозначно. Когда складьшаются два неприводимых момента количества движения, может быть дан однозначный ответ, что и составляет содержание теоремы о сложении моментов [c.24]

Как и отедует из теоремы о сложении моментов, оператор полного спина двухэлектронной системы представляет собой прямую сумму двух неприводимых моментов с весами О и 1. Строки матрицы и дают разложе1ше ортонормированных собственных функций 8 и 83 по базису. Таким образом, [c.29]

Функции (1.84), как и функции (1.83), характеризуются / = 7г и, как можно установить, будут взаимно ортогональны. Таким образом, полный спин трехзлектронной системы разлагается в прямую сумму трех моментон, один из которых имеет вес 3/2, а каждый из двух других — 1/2. [c.31]

Оболочки с одним и тем же квантовым числом п обычно имеют близкие энергии. Поэтому их часто объединяют в одну группу. Прямую сумму такой группы оболочек назьтают слоем. Слой принято обозначать специальной буквой согласно следующему правилу [c.121]

Напомним, что конфигурация была определена как множество линейных комбинаций детерминантов Слейтера, структура которых задана распределением электронов по оболочкам, а каждая оболочка представлена набором функций )- Поэтому совокупность таких детерминантов образует базис конфигурации. Как уже отмечалось, в качестве строительного материала для определителей не обязательно использовать функции Так, представляет интерес базисная система одноэлектронных функций (3.12). Поскольку в этом представлении оболочка распадается на две подоболочки, отвечающие двум возможным значениям / /= / + /г и— /2, все определители, построенные из одноэлектронных функций ф / >г .(г, а) и образующие конфигурацию, можно разбить на непересекающиеся классы, относя к одному классу определители, имеющие одинаковые числа заполнения подоболочек. Совокупность линейных комбинаций определителей, принадлежащих одному классу, образует некоторое подпространство конфигурации, которое называется подконфигурацией. При этом вся конфигурация разлагается в прямую сумму подконфигураций [c.125]

Подпространство конфигурации, образованное одной канонической цепочкой, назьшают уровнем. Вся конфигурация в представлении /Л/у разлагается, таким образом, в прямую сумму уровней. Важно понять, чем, в силу принципа Паули, задача такого разложения отличается от задачи сложения моментов (см. гл. 1, 2). Оператор момента количества движения Л действует в пределах заданной конфигурации, в то время как суммарный момент количества движения действует в прямом произведении пространств, в которых определены слагаемые моменты. Это разные пространства. Так, прямое произведение оболочек (пр) ф (п р) при п Ф п, определенное как совокупность линейных комбинаций функ-п рт вообще не содержит ни одной антисимметричной функции, а следовательно, ни одной функции конфигурации прпр. Если же л = п, то пространство (пр) (пр) содержит как функ- [c.129]

Индекс О различает отдельные канонические относительно операторов Ь и 8 цепочки, на которые такой базис распадается. Подпространство конфигурации размерности (25 + 1) (11 + 1), для которого одна такая цепочка служит базисом, назьтают термом. Поскольку базисы в Г/,5 образуются объединением отдельных канонических цепочек, отвечающих различным а, то Tls, а вместе с ними и вся конфигурация есть прямая сумма термов. Термы, принадлежащие одному и тому же пространству Т15, называют эквивалентными или однотипными. Операторы Я, 5 представляют собой другую пару операторов, коммутирующих между собой и с операторами и 8 , и, следовательно, обладающих в Г 5-06-щей системой собственных функций [c.131]

В // / -представлении конфигурация естественным образом разлагается в прямую сумму подконфигураций. Очевидно, что такое разложение однозначно. Назовем схемой /7-связи любой базис конфигурации, который получается объединением базисов подконфигураций. Если к тому же базисы подконфигураций состоят из собственных функций операторов I и г, то такую схему будем называть ( j)JMJ-прел-ставлением. [c.132]

Используем следующую терминологию. Назовем орбитали пассивными, если во всех ссылочных конфигурациях эти орбитааи перечисляются дважды, т.е. входят в каждый из определителей в комбинации со спиновыми функциями в виде (ip a,. Некоторая часть орбиталей [Уд ] вообще отсутствует во всех ссылочных конфигурациях, их называют дополнительными или виртуальными. Последний термин возник по аналогии с однодетерминантным приближением метода ССП виртуальные орбитали важны в процессе самосогласования, но они отсутствуют в конечной волновой функции. Остальные орбитали называют активными. Пространство орбитальных функций L является прямой суммой упомянутых подпространств [c.263]

Такое представление есть прямая сумма двух неприводимых представлений А, 52 любые две функции а, и 2 преобразующиеся по этим неприводимым представлениям, позволяют построить две орбитали, переходящие при операциях симметрии друг в друга [c.351]

Так принято описывать произвольную векторную величину. Но существует еще другой тип векторной суммы, называемый прямой суммой. Вектор с, представленный выражением (2.3), достаточно выразить только через базис р, п, й, /г), поскольку он не содержит ни четвертьдолларовых, ни долларовых компонент. Аналогично вектор с [выражение (2.4)] достаточно выразить только через базис д, О). В таком случае вектор с" должен быть прямой суммой (обозначаемой символом ) векторов с и [c.404]

Нетрудно убедиться в том, что аналогичными свойствами симметрии обладает любая подсистема электронов, образующая замкнутую оболочку. Вторую подсистему образуют электроны, которые частично заполняют вырожденный уровень E g. Принцип Паули позволяет паре электронов на этом уровне находиться в одном из двух различных состояний полного спина, а именно в состояниях с 5 = 0 и 5 = 1, в зависимости от того, имеют ли эти электроны одинаковые или противоположные спины. Эта ситуация подобна той, которую мы исследовали в случае двухэлектронной системы [начиная с равенства (6.109)], когда в триплетном состоянии система характеризуется антисимметричной, а в синглетном состоянии — симметричной пространственной функцией. В связи с этой проблемой укажем, что произведение представлений с базисом (6.50), возникающим из двух наборов функций фг, г = 1,. .., т и г] ,-, i= 1,. .., т (т 2), каждая из которых образует базис одного и того же нецриводимого представления A< , T G (так что ф, = зг), можно представить в виде прямой суммы двух представлений [c.155]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология