Сходимость итерационных методов

Сходимость итерационных методов [c.189]

Проведенные оценки погрешности решений и анализ сходимости итерационного метода применительно к данному расчету показали, что формулы (2) и (3) — второго порядка точности. Предлагаемые формулы (2) и (3) дают гарантированную сходимость для всех случаев расчета, в то время как формула (1), использующая нормированные значения концентраций компонентов, не обеспечивает в некоторых случаях требуемую точность сходимости итерационного процесса. За исходную температуру при расчете каждой последующей тарелки рекомендовано принимать температуру на предыдущей тарелке. [c.209]

Однако при таком способе коррекции оказываются нарушенными общие материальные балансы но компонентам для всей колонны, что существенно сказывается на скорости сходимости итерационного метода. Для устранения этого противоречия и ускорения сходимости решения используется 6-метод коррекции концентраций в колонне 146]. [c.316]

Б. Т. Поля к, О некоторых способах ускорения сходимости итерационных методов . Вычислительная математика и математическая физика, т. 4, № 5 (1964). [c.251]

Для сложных систем (У.2) при больших к нахождение точного решения потребует выполнения большого числа расчетов поэтому часто ип ут не точное, а приближенное решение этой системы, используя различные итерационные методы. Как правило, программы для ЭВМ при использовании итерационных методов значительно компактнее и время вычислений гораздо меньше. Известен [1] ряд итерационных методов решения системы (У-2), однако каждый из них применим лишь в ограниченной области условий, позволяющих быстро свести итерационным процессом плохое решение к хорошему. Вне этой области сходимость решения будет медленной. [c.142]

При необходимости учета изменения условий теплопередачи вдоль поверхности можно рекомендовать интервально-итерационный метод в случае использования любого из рассмотренных ранее способов расчета теплопередачи, если распространить их на интервал как часть элемента. При этом может быть достигнута одинаковая точность расчета, однако разными усилиями. Поэтому следует выбрать способ расчета теплопередачи в интервале, исходя из простоты его реализации и быстроты сходимости расчета. Эталонный способ полной линеаризации исключается из рассмотрения, так как он сложен в реализации (требуется проводить численное интегрирование) и по точности практически равноценен интервально-итерационному. [c.98]

МОЙ памяти. Использование итерационных методов (а они составляют большинство методов вычислительной математики) отвечает требованиям минимизации занимаемой памяти, однако не всегда обеспечивает требуемое быстродействие. Метод должен обеспечивать, во-первых, сходимость при любом начальном приближении и, во-вторых, с приемлемым быстродействием. Далеко не много методов удовлетворяют этим требованиям. Например, метод релаксации в общем случае обеспечивает сходимость решения при любом начальном приближении, но весьма и весьма медленно. Методы же типа Ньютона—Рафсона обладают квадратичной сходимостью, но не при любом начальном приближении. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения параметров процесса. [c.261]

Ускорение сходимости итерационных процессов. Основные идеи метода ускорения сходимости базируются на том, что при генерации нового приближения максимально используется информация, полученная на предыдущих итерациях, и, кроме того, все более точно описывается некоторое отображение исходной системы нелинейных уравнений. Пусть исходная система нели- [c.596]

Сложнее вопрос о быстродействии для итерационных методов. Во-первых, сходимость метода обеспечивается при выполнении определенных для каждого метода условий. Например, при решении уравнения /(Г) =0 по формуле (1-24) процесс будет сходящимся, если / (Г ) < 1. Во-вторых, количество итераций, которое необходимо выполнить для получения решения, зависит от начального приближения и требуемой точности. Чем ближе начальное приближение к истинному решению, тем быстрее оно будет достигнуто. Более того, от начального приближения зависит вообще возможность получения решения. В связи с этим одной из сложных проблем при использовании итерационных методов является обеспечение сходимости решения в широком диапазоне изменения начальных условий и параметров процесса. Решению этой проблемы уделяется основное внимание при разработке универсальных моделирующих алгоритмов. [c.24]

В определении оптимальной стратегии исследования сложных ХТС особое место занимает разработка методов решения многомерных систем нелинейных уравнений и обеспечения сходимости итерационных процессов вычислений. Поскольку эти вопросы представляют специальный интерес, в настоящей главе о них будут даны только некоторые основные понятия. [c.213]

Необходимо-, чтобы указанные методы обеспечивали быстродействующие решения задач оптимизации, т. е. минимальные затраты машинного времени, обладали высокой степенью формализации и характеризовались быстротой сходимости итерационных процессов прп вычислительных операциях. [c.302]

Методы вычисления собственных значений матрицы без развертывания определителя чаще всего являются итерационными. В любом итерационном методе объем вычислений определяется заданной точностью и скоростью сходимости, причем последняя в значительной степени зависит от свойства матрицы. В этих методах собственные значения и соответствующие им собственные векторы получаются как пределы некоторых числовых последовательностей [33]. [c.285]

Основная трудность многочленной аппроксимации по методу наименьших квадратов заключается в решении нормальной системы уравнений. Поскольку коэффициентами системы являются суммы аргументов в соответствующих степенях, то при высокой степени многочлена они могут иметь значительный разброс по абсолютной величине, в силу чего система может быть плохо обусловленной и ее определитель близок к нулю. Поэтому решение таких систем итерационными методами без соответствующего преобразования редко бывает успешным, поскольку для них, как правило, не выполняются условия сходимости (стр. 258). [c.321]

Однако, когда система разделения имеет множественные обратные рецикловые потоки и/или разделяемая смесь сильно неидеальна, последовательно-итерационные методы расчета сходятся медленно или вообще не работают без некоторой форсирующей стадии. Это обусловило необходимость разработки таких методов, которые обеспечивали бы сходимость для всех колонн взаимосвязанной системы. Обзор этих методов приведен в табл. 5.1. [c.237]

Важное достоинство метода наискорейшего спуска — его абсолютная сходимость. Этот метод рекомендуется применять для уточнения решения тогда, когда вычисления по другим итерационным методам расходятся. Рассматриваемый метод можно использовать и для первоначального отыскания корней уравнений (III.I), взяв в качестве исходных данных произвольные числа. Однако в этом случае вместо решения системы могут получиться значения, при которых функция Ф (х) имеет относительный экстремум. Отметим, что это может случиться при использовании любого локального метода оптимизации. [c.72]

Отсюда для ускорения сходимости итерационной процедуры (VI,43) можно использовать методы, применяемые при решении систем нелинейных уравнений [12, с. 30—44]. Возможен также следующий общий подход к построению функции В из обычной функции штрафа. [c.239]

Преодолеть эту трудность помогает подпрограмма IMP, которая начинает считать одну из переменных X или Y от некоторой произвольной величины, выбранной программистом, и расчет производится итерационным методом до достижения сходимости. [c.54]

Такие методы называются одношаговыми. Если же величина очередного шага зависит от большего числа предыдущих состояний, то итерационный метод называется многошаговым. Теоретически многошаговые методы должны обеспечить более высокую скорость сходимости к оптимуму в силу того, что они используют больший объем информации о. характере поведения целевой функции. [c.19]

Поскольку аналитические решения для каждого интервала представляются бесконечными рядами, имеющими разную скорость сходимости на кал<дом интервале, то расчеты экстракционных процессов интервально-итерационным методом практически возможны только при помощи ЭВМ. [c.128]

Очень медленная сходимость итерационного процесса в конечной стадии расчета делает невозможным получение точного результата с помощью релаксационного метода. Поэтому на конечной стадии предлагалось заменить релаксационный метод каким-нибудь другим, обеспечивающим более быструю сходимость [174]. С этой целью был разработан комбинированный метод, включающий описанный выше релаксационный метод и [c.271]

Примерами итерационных методов поиска первого порядка с линейной сходимостью является метод антиградиента и его модификация — наискорейший спуск [121, с. 189]. [c.180]

Критерий решения задачи п сходимость итерационного метода. В результате решения задачи нахождения max о при условиях (1П). (17) мы получпм некоторое значение с=,. При это.м возможны такие случаи [c.146]

В то же время отметим, что применение итерационной схемы Ньютона для решения конечно-разностных уравнений (2.7) не, обеспечивает выполиение законов сохранения на промежуточных итерациях. Показано, что выполнение законов сохранения с заданной относительной точностью еще не гарантирует того, что концентрации нри этом будут находиться с такой же относительной точностью. Особенно неточно при этом могут находиться концентрации веществ, содержание которых в смеси мало. Поэтому чтобы гарантировать заданную относительную точность расчета всех концентраций (в том числе и токсичных), надо следить за тем, чтобы с необходимой для этого точностью удовлетворялись в первую очередь те из уравпений (2.7), которые соответствуют наименьшим компонентам. Кроме того, сходимость итерационных методов, применяемых для решения (2.7), практически всегда улучшается, если значения а +1 во всех промежуточных итерациях точно удовлетворяют законам сохранения. [c.65]

В частности, методы разделяются по количеству иерархических уровней (одноуровневые и многоуровневые), по порядку производных, используемых в процессе поиска решения и т. д. Наиболее широкое распространение в задачах анализа и синтеза ХТС находят методы нулевого (без вычисления производных) и первого порядков. Наряду с ними все более широкое применение получают и многоуровневые методы (в частности, двухуровневые), в основе которых лежит идея декомпозиции исходной задачи на ряд подзадач меньшей размерности. Использование линеаризации уравнений математического описания на первом уровне позволяет эффективно применять хорошо разработанный аппарат линейной алгебры. На первом уровне подсистемы рассчитываются независимо друг от друга, а второй уровень служит для координахщи оптимальных решений с целью достижения общего оптимума системы. Стратегия координации решений в целом может осуществляться с использованием алгоритмов явной или неявной декомпозиции. Одно из важных преимуществ метода многоуровневой оптимизации заключается в том, что с его помощью можно существенно сократить время решения общей задачи и требуемый объем оперативной памяти. Сокращение времени расчета может быть достигнутю за счет одновременной оптимизации подсистем с помощью параллельна работающих продессов ЭВМ. Однако следует отметить, что мыо-гоуровневые методы обеспечивают сходимость итерационного процесса только при определенных условиях, налагаемых как на целевую функцию и математическое описание, так и на декомпозицию исходной ХТС на подсистемы (4, 53]. К тому же доказательств условной сходимости многоуровневых методов практически нет. [c.143]

К итерационным методам решения систем нелинейных уравнений относятся метод простой итерации и такие его разновидности с улучшенной сходимостью, как метод модифицированной итерации метод доминирующего собственного значения (DEM) [21 ] и обобщенный метод доминирующи.х собственных значений (GDEM) [22] метод Ньютона и его модификации различные разновидности метода секущих, в частности, методы Вольфа, Барнза, Бройдена, методы с памятью и др. [c.67]

Для решения этого уравнения отиосительно переменной Тср воспользуемся методом Ньютона. В табл. 111.18 показана сходимость итерационного процесса. В качестве начальных приближений взяты значения Тср = 100 и Тср = ПО К. Результаты вычислений [c.100]

Как известно, основные вычислительные трудности, возникающие прн решении этой задачи, связаны с проблемой достижения сходимости итерационного расчета. Книга Ч. Холланда Многокомпонентная ректификация является монографией, посвященной в основном систематическому излои<ению одного из наиболее эффективных методов сходимости расчета — 0-методу. В книге рассматривается применение этого метода и приводится решение различных задач многокомпонентной ректификации, включая расчет колопп с полным возвратом флегмы и при минимальной флегме, сложных колонн, установок со стриппинг-секциями и т. д. Описаны различные подходы к расчету процесса многокомпопепт-ной ректификации методика расчета от тарелки к тарелке , когда в качестве независимых переменных выбраны составы продуктов разделения (автор называет ее методикой Льюиса и Матисопа) методика независимого определения концентраций, когда в качестве независимых переменных принята температура фаз на тарелках (методика Тиле и Геддеса). Последняя методика применяется наиболее широко и рекомендуется для сочетания с 0-методом сходимости. Большой практический интерес представляет таюке ()-мстод составления тепловых балансов. [c.10]

Основную сложность представляет обеспечение сходимости итерационного цикла. К настоящему времени разработано большое количество методов расчета ректификации и их модификаций [1,4], различающихся подходами к организации итерационного цикла. Все эти методы различаются в отношении быстродействия, достигаемой точнЦщ-и результатов, объема занимаемой оперативной памяти ЭВМ и так далее. На первом этапе развития теории расчетов раделения разрабатывались упрощенные, аналитические методики расчета, основанные на анализе предельных гипотетических режимов разделения расчете режимов полного (Л = оо) и минимального (/ = / , ) орошений по уравнениям Фенске - Андервуда (Л = оо), по уравнению Андервуда (Д = ) и последующем переходе к режиму рабочего орошения с помощью корреляционного графика (уравнения) Джиллиленда [1,5 - 8]. Все эти модели используют достаточно серьезные допущения и по сегодняшним представлениям мало пригодны для реального проектирования, хотя и могут быть применены для предварительной оценки вариантов разделения, для получения начального приближения при использовании более строгих моделей и так далее. [c.6]

Как видим, при расчете процесса разделения на каждой ступени контакта используются характеристики входных потоков, полученные при расчете предыдущих ступеней. Последовательно проводя расчеты снизу вверх и сверху вниз и корреюгируя характеристики потоков (расходы, температуры, составы) при каждом прохождении, получаем профили этих характеристик, которые стремятся (релаксируют) к некоторому пределу, который и является рещением задачи. Сходимость итерационного цикла определяется тем, что во всех итерациях характеристики внешних входных потоков (материальных и тепловых) закреплены. Модификации метода релаксации разрабатываются как в РФ [14 - 18], так и за рубежом [12,19]. Условия выполнения материальных и тепловых балансов на всех ступенях контакта обеспечивает и выполнение балансов по аппарату в целом. [c.9]

Итерационные методы расчета рКа и рКа2 весьма трудоемки. Более существенный их недостаток заключается в отсутствии гарантированной сходимости результатов при минимальном остаточном с. о. [c.144]

Совпадение результатов двух последовательных итераций не является безусловной гарантией достоверности полученных рКах и р/Сд2. так как оно возможно и при плохом соответствии вычисленных и экспериментальных значений Ь. При некоторых начальных приближениях итерации вообще могут расходиться [219, 220] возможны пульсирующие варианты поочередного сближения и расхождения итераций и т. д. Условия сходимости подобных итерационных методов в литературе не освещены. Можно предполагать, что шансы на получение удовлетворительных результатов будут тем выше, чем лучше начальное приближение, чем меньше перекрываются р д1 и рКа1 и чем сильнее отличается )НА от В к и )н2А- [c.144]

Необходимо подчеркнуть единство всех системных представлений и компонентов СППР описание только одного аспекта системы безотносительно к понятиям другого аспекта бессодержательно. Эффективность использования моделей зависит как от вычислительной эффективности применяемых алгоритмов, так и от выполнения целого ряда требований технологического характера к компьютерной реализации. Возможность применения того или иного вычислительного метода, скорость сходимости итерационных процедур, объем перерабатываемой и хранимой информации и вытекающие отсюда требования к комплексу технических средств существенно влияют на структуру и точность используемых моделей. Поэтому оценка эффективности тех или иных классов математических моделей периодически пересматривается в процессе совершенствования вычислительного оборудования, роста мощности компьютеров, в том числе объема их оперативной и долговременной памяти и иных характеристик. [c.42]

Классический алгоритм метода квазивариационных неравенств состоит в том, что при фиксированном итерации по Ор проводятся до достижения сходимости [29]. Отсюда следует применимость другого варианта двойственности, рассмотренная вьппе для контактных задач без трения. Здесь также учет кинематических граничных условий, наряду со статическими, ускоряет сходимость итерационного поиска границы площадки контакта и участков сцепления и проскальзьшания. [c.152]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология