Метод решения простейших дифференциальных уравнений

Представляя искомые функции для концентраций и,- в виде рядов типа (26,3), мы получаем весьма простой метод решения системы дифференциальных уравнений (25,8). Действительно, разложим искомую функцию и,.(дг, у, г, t), дающую зависимость концентрации данного типа активных продуктов (сорт /) от X, у, г и t, в ряд типа (26,3) [c.130]

Конкретная структура математических уравнений и способов обработки данных зависит от экспериментального метода проведения кинетических исследований. Для дифференциальных реакторов это будет система алгебраических уравнений, для изотермических интегральных реакторов — система дифференциальных уравнений, сравнительно просто линеаризуемых в отношении констант, для неизотермических интегральных реакторов — система дифференциальных уравнений, нелинейных относительно констант. Следует отметить, что успехи в области решения нелинейных задач химической кинетики и поисковых методов [4, 15—17] позволили создать эффективные алгоритмы, обеспечивающие практически одинаковую достоверность в определении структуры кинетических уравнений и входящих в них констант для любого экспериментального метода кинетических исследований. [c.77]

Существенным для излагаемой модели массообмена является отсутствие учета изменяющейся по высоте слоя тепловой обстановки, в частности пренебрежение теплотой нагрева сушимого материала. Аналитические результаты получены здесь для наиболее простых случаев сушки частиц в периодах постоянной и линейно убывающей скорости сушки. Для более сложных кривых сушки, которые могут встречаться в промышленной практике, рекомендуются [12] лишь численные методы решения основного дифференциального уравнения (2.160). Для практических расчетов по предложенным соотношениям необходима предварительная информация о величинах коэффициента массообмена Ка и об удельной поверхности дисперсного материала в слое а, которые должны быть найдены в предварительных опытах. [c.76]

Заметим, что требование линейности системы в незначительной мере ограничивает общность предлагаемой методики, которая применима, для широкого класса нелинейных объектов, если воспользоваться методом нелинейных преобразований случайных функций. Специфика нелинейных объектов химической технологии такова, что практически почти всегда есть возможность свести нелинейные дифференциальные операторы к линейным или квазилинейным интегральным операторам. Это достигается либо путем разложения решения нелинейного дифференциального уравнения по параметру [8], либо с помощью простой замены переменных [15]. [c.475]

Именно это обстоятельство, т. е. необходимость выполнения граничных условий, заданных в различных точках экстремали, зачастую и осложняет получение численного решения. Для того чтобы понять, какие при этом возникают трудности, рассмотрим простейший метод численного интегрирования дифференциальных уравнений, используемый для выполнения расчетов на вычислительных машинах. [c.227]

Мы не будем здесь подробно расс.матривать соотношение между волновой функцией и состоянием, которое она описывает Достаточно указать, что если известна волновая функция системы, то можно найти (при помощи прямых, но часто очень трудоемких математических методов) числовое значение или, по крайней мере, среднее числовое значение любого свойства системы, которое можно измерить экспериментально. Поэтому в квантово-механическом расчете важной стадией является построение волновой функции. В принципе ее можно получить как решение некоторого дифференциального уравнения в частных производных, известного под названием уравнения Шре-дингера или волнового уравнения. Но на практике оно слишком сложно, так что решить его точно можно только для простейших систем, и поэтому приходится обращаться к приближенным методам решения. [c.46]

Решение этого дифференциального уравнения при простейших граничных условиях может быть получено в предположении, что коэффициент диффузии не зависит от концентрации, что в большинстве случаев не является физически оправданным. Обычно коэффициент >е меняется при изменении адсорбции и других параметров адсорбционного процесса. Решение дифференциального уравнения (15) при переменном коэффициенте диффузии — это очень сложная математическая задача, в большинстве случаев не имеющая решения. В последних случаях находят приближенные решения с помощью численных методов. [c.31]

Операторный метод успешно применяется к решению линейных дифференциальных уравнений и других целей. В ряде случаев, применяя его, можно значительно упростить и сократить вычислительную работу. Не вдаваясь пока в суш,ность этого метода, покажем технику его применения на простых примерах. Пусть требуется решить дифференциальное уравнение [c.110]

Мы изложим сейчас простой метод, используемый обычно для нахождения приближенных графических решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Эти уравнения почти всегда могут быть преобразованы к виду [c.27]

Четвертую группу составляют различные интегральные методы, основанные на выборе профилей температуры и скорости в виде либо автомодельных относительно координаты г функций, либо заранее вычисленных распределений /(г) и у, г), зависящих от радиуса развивающейся дуги б и общего тока I. Характерным примером может служить работа [5], где в результате решения уравнения энергии получено следующее простое дифференциальное уравнение, дающее связь между б и г [c.155]

В гл. 6 были приведены некоторые дифференциальные уравнения (в том числе и в частных производных), применимые для производственно-технических расчетов. Мы будем рассматривать решение уравнений различных процессов только с позиций химической инженерной практики. Если придерживаться точных математических методов, то предложенные уравнения можно решить лишь в простейших случаях. Возникающие при этом трудности могут иметь двоякое основание. [c.81]

Метод последовательных приближений тесно связан с другим достаточно простым и надежным подходом в анализе уравнения ФП, использующим квазистационарные функции распределения (КФР). Более того, предложенная в предыдущем разделе итерационная схема построения СЗ и СФ была развита в более поздних работах с использованием основных положений метода КФР. Отметим, что на основе КФР удается построить решения >равнения ФП с потенциалами, возрастающими на бесконечности не быстрее х (спектр СЗ здесь является непрерывным), а также с потенциалами, зависящими от времени. В этом смысле данный подход имеет более широкие границы применимости, чем краевая задача на СЗ и СФ. Его суть состоит в том, что решение уравнения ФП представляется в виде ряда по временным производным от какого-либо одного или нескольких параметров задачи. При этом ее решение сводится к нахождению решения обыкновенного дифференциального уравнения для выбранного параметра задачи, что существенно упрощает анализ. Первый член ряда, соответствующий нулевому приближению, является равновесной функцией распределения. Остальные члены описывают отклонения- от равновесия. Чем больше членов в данном ряду учитывается, тем с более ранних моментов времени применима КФР. В отличие от нестационарной теории возмущений, дающей решения близкие к начальному моменту времени, с помощью КФР находятся решения, описывающие эволюцию системы к состоянию равновесия для достаточно больших моментов времени наблюдения /45, 46/. [c.48]

Указанные члены вычисляются в момент времени п Ы). Это явный метод, или метод дифференцирования вперед. Он наиболее прост в применении, поскольку значения всех зависимых переменных в начальной точке интегрирования известны. К сожалению, явные методы нельзя применять для решения систем дифференциальных уравнений с существенно различными временными масштабами процессов. Цепные реакции, характерные для процессов горения, обладают этим свойством жесткости быстрые реакции приходят в равновесие намного раньше, чем система в целом. Условие устойчивости вычислений требует, чтобы шаг интегрирования был обратно пропорционален скорости самой быстрой реакции, что недопустимо увеличивает полное время вычислений. [c.71]

Аналитические решения рассмотренных выше дифференциальных уравнений первого и второго порядка известны лишь для частных случаев с единичными простыми реакциями в изотермических условиях. Поэтому для интегрирования их в настоящее время используются в основном численные методы и решение производится на ЭЦВМ [6, 7, 68]. [c.43]

Теория подобия имеет важное значение при переходе от теоретических исследований к инженерной практике. Существуют два противоположных взгляда на теорию подобия некоторые ученые и инженеры отвергают ее, так как она не дает точных решений, иногда чрезмерно упрощает дифференциальные уравнения, описывающие процесс, и выводы ее ненадежны другие считают теорию подобия достаточно простой и легкой, а применение ее методов — решением всех проблем и пользуются этими методами без необходимого анализа возможности их применения. По нашему мнению, обе эти крайние точки зрения на теорию подобия неприемлемы. [c.76]

Таким образом, становится понятным, почему важное значение приобретают методы, которые позволяют привести дифференциальные уравнения, описывающие процесс, к зависимостям безразмерных комплексов величин . Перед описанием этих методов остановимся на решении основного уравнения потока, т. е. уравнения Навье — Стокса, для простейшего случая. [c.81]

Существенным моментом при выборе метода является размерность задачи. Некоторые методы эффективны при решении небольших задач, однако с увеличением числа переменных объем вычислений настолько возрастает, что приходится от них отказываться. Такого класса задачи обычно имеют место при решении систем уравнений, поиске оптимальных значений параметров многомерных функций. Соответствующим выбором метода можно уменьшить время решения задачи и объем занимаемой памяти. Так, при решении систем линейных алгебраических уравнений объем вычислений для точных методов (типа метода Гаусса) пропорционален а для итерационных (типа простой итерации) — Л , где N — число неизвестных. При решении дифференциальных уравнений разностными методами матрица коэффициентов системы при числе узловых точек N содержит N элементов (при N = 100 для исходной информации необходимо отвести свыше 10 ООО слов оперативной памяти). Однако при [c.24]

Решением дифференциального уравнения является некоторая функциональная зависимость, которая в простейших случаях может быть получена аналитически, а в более сложных — численными методами в виде таблицы значений независимой переменной и соответствуюш,их значений функции. [c.349]

Расчет теплопередачи для любых видов тока на основе ступенчатого метода. В предыдущих разделах путем решения дифференциального уравнения теплопередачи получены зависимости для расчета теплообменных аппаратов с различными схемами взаимного тока теплоносителей. Результаты показывают, что даже для сравнительно простых схем тока получаются весьма громоздкие выводы и уравнения. Для более сложных случаев дифференциальное уравнение теплопередачи либо вообще не может быть решено в элементарных функциях, либо решения имеют столь громоздкий [c.29]

Стало традиционным изложение сведений о строении вещества в курсе общей и неорганической химии. Но эта информаци тонет в общем потоке многочисленных сведений по общей и неорганической химии и не складывается в основу дальнейшего изучения вереницы химических дисциплин. Для того чтобы дать этот материал в систематическом изложении и на более высоком уровне, в Московском химико-технологическом институте им. Д. И. Менделеева в 1964 г. преподавание цикла химических дисциплин было начато с чтения в первом семестре курса Строение вещества , который предшествовал изложению неорганической и органической химии. Введение такого курса потребовало-перестройки преподавания высшей математики в первом семестре было дано концентрированное изложение основ дифференциального и интегрального исчислений и методов решения простейших дифференциальных уравнений со смыслом понятий про- изводная , интеграл , дифференциальное уравнение студенты ознакомились уже на первых лекциях. Эксперимент удался — курс Строение вещества был хорошо усвоен и это позволило значительно повысить уровень преподавания не только химических, но и других дисциплин. В МХТИ им. Д. И. Менделеева решено практиковать данную систему обучения. [c.3]

С математической точки зрения метод "термического четырехполюсника" принадлежит к классу аналитических методов решения линейР1ых дифференциальных уравнений в простых геометриях. Он использует такие аналитические инструменты как интегральное преобразование Лапласа (во времени) и пространственные интегральные преобразования Фурье и Ханкеля, связанные с методом разделения переменных. Уравнения теплопроводности выражают в виде линейных матричных связей между трансформированными векторами температуры и тепловых потоков на границах многослойной системы. Это позволяет получать решения, общий вид которых не зависит от граничных условий. [c.37]

Ряд упрощений и предположений, сделанных при выводе уравнения (7.5.3.5), требует осторожного отношения к пределам его применимости, особенно в тех случаях, когда учитываются измельчение и агломерация. Не исключена возможность, что в отдельных случаях форма членов уравнения, учитывающих измельчение и агломерацию, будет отличаться от (7.5.3.5). Ре-цептурньгх (однозначных) методов решения интегро-дифференциальных уравнений нет. Ввиду большой значимости кинетического уравнения для практических расчетов и серьезных математических трудностей, связанных с его решением, приходится создавать на его основе более простые модели. [c.685]

Хотя система уравнений (5.18) имеет несколько необычную форму, она может быть решена с помощью стандартного метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В нашем случае, когда ищут одно стационарное решение, нет необходимости использовать методы интегрирования со специально настраиваемыми параметрами, поскольку глобальная устойчивость и квадратичная сходимость может быть получена и без них. Некоторые исследователи проводили эксперименты с интефаторами относительно высокого порядка, но их опыты подтвердили ранее сделанное предположение о том, что для получения решения достаточно простого явного интефирования методом Эйлера. [c.270]

Существует два способа расчета параметров жидкости в пограничном слое. Первый способ заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений пограничного слоя, впервые полученных Прандтлем, и основывается на использева-пии вычислительных машин. В настоящее время разработаны различные математические методы, позволяющие создавать рациональные алгоритмы для решения уравнений параболического типа, к которому относится уравнение пограничного слоя. Такой подход широко используется для определения характеристик ламинарного пограничного слоя. Развиваются приближенные модели турбулентности, применение которых делает возможным проведение расчета конечно-разностными численными методами и для турбулентного потока. Второй способ состоит в нахождении методов приближенного расчета, которые позволяли бы получить необходимую информацию более простым путем. Такие методы можно получпть, если отказаться от нахождения решений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям для каждой частицы, и вместо этого ограничиться отысканием решений, удовлетворяющих некоторым основным уравнениям для всего пограничного слоя и некоторым наиболее важным граничным условиям на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Основными уравнениями, которые обычно используются в этих методах, являются уравнения количества движения и энерпш для всего пограничного слоя. При этом, однако, необходимо задавать профили скорости и температуры. От того, насколько удачно выбрана форма этих профилей, в значительной степени зависит точность получаемых результатов. Поэтому получили распространение методы расчета параметров пограничного слоя, в которых для нахождения формы профилей скорости и температуры используются дифференциальные уравнения Прандтля или их частные решения. Далее расчет производится с помощью интегрального уравнения количества движения. [c.283]

До сих пор мы считали частоты элементарных процессов У постоянными, вследствие чего математическая задача кинетики сводилась к решению системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такое упрощение задачи возможно, пока мы ограничиваем рассмотрение реакции начальной ее стадией, когда концентрации исходных веществ еще не претерпели сколько-нибудь существенного изменения. При значительной глубине реакции, очевидно, необходимо учитывать изменение концентраций всех присутствующих в зоне реакции веществ вследствие этого возникает задача решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, которая в общем виде аналитически неразрешима. Однако, пользуясь методом квазистациоиарных концентраций, часто удается свести задачу к решению системы двух уравнений, которая в отдельных простейших случаях может быть решена аналитически. В результате этого [ ёшения получаются определенные соотношения между концентрациями активных центров и исходных веществ, позволяющие выразить скорость реакции через коицсптраппю исходного вещества. Это отвечает макрокинетпческо.му. юкону реакции. [c.431]

Если не говорить о принципиально приближенных методах решения задачи А, которые во многих случаях приводят к принципиальным и практически непреодолимыгл трудностям, то единственным возможным методом решения задачи А остается дифференцирование условий Лагранжа и ограничений (I) по параметру у, и решение полученной таким образом системы дифференциальных уравнений из начальных точек, являющихся решениями задачи Б при у = уо Однако такой метод будет эффективным лишь в случае, если решение соответствуицих дифференциальных уравнений будет существовать на всем заданном интервале изменения параметра у, а точки траектории будут устойчивыгли при решении задачи Б известными вычислительными процедурами. К сожалению, при сформулированных выше допущениях ничего определенного о выполнении отмеченных условий установить не удается. Можно лишь привести простые примеры, в которых эти условия не выполняются на всей нужной траектории. Эти трудности связаны с некоторыми общими свойствами функции Лагранжа, которые приво- [c.173]

В разделе 4.4.3 мы рассмотрели несколько моделей с целью охарактеризовать пористые структуры. Если структура нор известна и может быть охарактеризована геометрически, то мы должны лишь видоизменить дифференциальное уравнение, описывающее, каким образом диффузия оказывает влияние на скорость реакции. За исключением тех случаев, когда норы имеют очень простую форму, типа цилиндров и сфер, решение этого дифференциального уравнения нельзя получить обычным аналитическим способом, и поэтому должны применяться численные методы. Гораздо более простой способ описан Уилером [34, согласно которому, экспериментально определенные величины поверхности и объем пор согласуют с найденными геометрически величинами поверхности и объема пор модели катализатора. Такая модель может применяться для описания скорости, с которой реакция протекает на реальных таблетках катализатора. Мы уже показали выше, что число пор в частице катализатора выражается величиной "ф/У2яг , где -ф — пористость, а г — средний размер пор. Если такая частица содержит N пор длиной Ь, то скорость реакции на частице в целом будет в N раз превышать скорость реакции в одной поре, причем последняя величина выражается уравнением (145). Так как число нор равно (прЗх), где Пр — число пор, приходящееся на единицу внешней поверхности 8то скорость реакции Ер на одной таблетке составляет [c.201]

Математический аппарат книги достаточно прост. Для ясного понимания идей книги реобходимо знакомство с элементарными понятиями теории вероятностей. Для решения систем дифференциальных уравнений используется операционное исчисление. Впрочем, читатель, не знакомый с этим разделом математики, легко с.моя ет проследить за развитием излагаемых в книге методов, опустив липп. некоторые доказательства. [c.4]

В работе [43] для этого используется разложение в ряд. Другой способ, употреблявшийся в работе [80], состоит в использовании точного решения (2.20), являющегося асимптотикой соответствующего решения в плоскости годографа. Данные на характеристике ЕЕ, достаточно близкой к точке К, получаются из этого решения, после чего методом характеристик строится решение в области ЕЕА2В. Контур АС, ограничивающий область простой волны, получается как решение обыкновенного дифференциального уравнения по данным на последней характеристике узла АВ. [c.118]

Для того чтобы сделать возможный определение коэффициентов внутренней диф узии, когда последние маскируются внешней диффузией, а также для описания диффузии в неоднородной среде, автором был предложен новый подход к описанию процессов диффузии /5/, заключающийся в теоретическом вычислении связи среднего времени десорбции с коэф циентами диффузии в ионите и растворе, размером частиц ионита, толщиной эффективного диффузионного слоя в растворе на границе с частицей и другими параметрами. Для экспериментального определения среднего времени десорбции X, как легко видеть, должна быть вычислена площадь на графике зависимости -5 1 от времени, где а(0) - начальное количество ионов в зерне ионита перед десорбцией < )- количество ионов, оставшихся к моменту времени t после начала десорбции. (Начальное распределение ионов предполагается равномерным). Для теоретического вычисления X можно использовать два метода решение уравнения для среднего времени достижения границы, либо метод стационарного потока. Оба метода приводят к решению обычного дифференциального уравнения (в то время как для определения хода кинетики сорбции или десорбции требуется решение более сложного уравнения.в частных производных). Методом стационарного потока эта задача была решена в работе /б/. Здесь мы дадим более простой вывод. Представим себе стационарный процесс диффузии, при котором по всему объему сферической частицы ионита вводятся ионы (а ионов на I см /сек), которые поглощаются на внешней стороне диффузионной пленки. Распределение концентрации тяоъ(с) описывается тогда [c.41]

Метод приближенного решения уравнений переноса (1.16) основан на усреднении производных dujdi и д дх и соответствующей замене их мгновенных значений на постоянные величины. Решение получающихся дифференциальных уравнений в полных производных дает изменение границы испарения внутри частицы во времени, а также зависимость влагосодержания и температуры сферической частицы от теку-. щего положения фронта испарения. Структура окончательных решений получается неожиданно простой. Так, для влагосодержания частицы в зависимости от времени в периодах постоянной и убывающей скоростей сушки получено, соответственно [4, 21] [c.132]

При сложной зависимости /г(Г, р) (например, в околокритической области параметров состояния) и влиянии и Г, на а решение этого дифференциального уравнения можно получить численным методом. Простое решение имеет место в случае Г = onst, = onst. Тогда dh = dT и из (8.6) интегрированием получаем [c.245]

Точное решение для диффузии из источника с постоянной концентращ1ей (2.9) для изолированной гранишь (2.2) и (2.8) было получено Уипплом [2] с помошью метода преобразований Фу >е-Лапласа (этот метод позволяет преобразовать дифференциальные уравнения в частных производных к виду, который имеет простые элементарные решения.) Решение Уиппла является точным только в рамках классической модели изолированной границы, т.е. в граничных условиях [c.43]

Важный вопрос о соответствии значений констант скоростп реакций эксперпментальным данным вынесен в этой главе в упражнения. Сделано так потому, что, с одной стороны, этот вопрос относится скорее к области чистой, чем прикладной кинетики, и, с другой стороны, его решаюш,ее значение для всей проблемы расчета химических реакторов не вызывает сомнений. Если кинетические зависимости изображаются прямыми линиями, как на логарифмическом графике для реакции первого порядка в упражнении У.2, то оценка точности найденных значений констант скорости реакций может быть получена из отклонения экспериментальных данных от прямой линии, наилучшим образом оиисываюш ей ход процесса. Если дифференциальные уравнения, описывающие систему реакций, должны с самого начала интегрироваться численно, то провести оценку значений констант скорости и их точности значительно труднее. В простейших случаях уравнения можно решать с помощью аналоговой вычислительной машины, где константы скорости представляются переменными сопротивлениями. Эти сопротивления можно изменять вручную, пока не будет достигнуто наилучшее возможное соответствие между расчетными и экспериментальными данными. Если решение проводится на цифровой вычислительной машине, следует использовать метод проб и ошибок. Предположим, [c.116]

В 1926 г. Эрвин Шрёдингер (1887-1961) предложил описывать движение микрочастиц при помощи выведенного им волнового уравнения. Нас не столько интересует математический вид уравнения Шрёдингера, сколько способ нахождения его рещений и извлечения из них необходимой информации. Поняв, как поступают при решении уравнения Шрёдингера, можно, даже не проводя самого решения, составить представление о причинах квантования и о смысле квантовых чисел. В данном разделе мы попытаемся объяснить общий метод решения дифференциальных уравнений движения, с которыми приходится встречаться в квантовой механике. Этот метод будет пояснен путем рассмотрения более простой аналогии-уравнения колебаний струны. [c.360]

Последний пример наглядно показывает преимущества ступенчатого метода по сравнению с традиционным, оснрванным на решении дифференциального уравнения теплопередачи. С помощью ступенчатого метода были легко получены зависимости (1.105)— (1.107) для расчета аппаратов параллельно-смешанного тока при любом числе ходов, в то время как обычный метод потребовал сложного вывода и дал громоздкий результат даже для простейшей разновидности параллельно-смешанного тока. [c.39]

Решение. Для уравнения (VII, 21) модифицированный метод коллокации дает ряд обыкновенных дифференциальных уравнений (VIII, 23а). Индексы при х могут быть упущены, поскольку температурное отклонение является единственной переменной состояния. Для того чтобы определить область асимптотической устойчивости, можно использовать простейшую функцию Ляпунова [c.208]

Процедура KUTTAMERSON наиболее компактна и проста в обращении. Согласно результатам работ [66, 109], где проводилось сравнение различных численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, она очень эффективна и ее можно усиленно рекомендовать при расчетах методом классических траекторий. [c.78]

Справочник химика 21

Химия и химическая технология