ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Разложение по собственным функциям из "Стохастические процессы в физике и химии" Без потери общности предположим, что V/ неразложима. Вследствие свойств симметрии (5.4.2) или (5.6.1) это означает, что она также не приводится к виду (5.2.7). Если бы некоторые мз могли обращаться в нуль, это было бы не так, но нам известно, что в замкнутой изолированной физической системе все состояния имеют ненулевую вероятность. [c.122] Для финитной -матрицы из линейной алгебры следует, что ответ на этот вопрос должен быть положительным, если У-матрица симметрична. Если является оператором в бесконечномерном пространстве, то математические условия усложняются, но в качестве наводящего соображения можно считать любой симметричный оператор диагонализуемым, как это обычно бывает в квантовой механике. Сейчас мы покажем, что свойство детального равновесия гарантирует симметрию оператора Ш. Будем использовать обозначения для непрерывного множества возможных значений. [c.123] Эго соотношение определяет си.мметрию оператора У. [c.123] Примечание. Кроме вопроса о том, является ли набор собственных функций полным, на практике часто приходится сталкиваться со следующим вопросом. Предположим, для определенного оператора XV имеется возможность определить множество решений (5.7.1). Необходимо узнать, представляют ли они все возможные решения. Для финитной матрицы XV на этот вопрос можно ответить, подсчитав число найденных линейно независимых векторов Для некоторых задач в бесконечномерном гильбертовом пространстве можно непосредственна показать, что найденные решения образуют полный набор (см., например, 6.8). Обычно предполагают, что любой разумный систематический метод вычисления собственных функций позволяет найти все функции. Но в некоторых задачах в виде исключения появляются одна или несколько дополнительных собственных функцнй. [c.124] Упражнение. Сформулируйте рассмотренные выше уравнения для случая вырожденных собственных значений. [c.124] Действительно, это выражение отрицательно, если только все х не равны друг другу и вектор р не пропорционален р - Из этого вывода могло бы быть одно исключение. Когда много вероятностей обращается в нуль, состояния п разбиваются на две группы, не связанные друг с другом вероятностями перехода. Но в этом случае У-матрица должна быть разложимой. [c.125] Этот результат составляет третье доказательство приближения к равновесию, ио это доказательство ограничено -матрицами, имеющими свойство симметрии, выраженное соотношением детального равновесия. Однако оно не исключает возможности непрерывного спектра. [c.125] Это выражение можно интерпретировать как суперпозицию дебаев-ских функций релаксации П + мЧ ) с временами релаксации т. Весовая функция (т) суперпозиции может быть непрерывной или состоять из дельта-функций, но в соответствии с (5.7.16) не принимает отрицательных значений. Следовательно, 5 (со) монотонно убывает, когда (о пробегает значения от О до оо. [c.125] Это выражение является асимптотическим разложением. Отметим, что коэффициенты разложения можно находить, не решая основное кинетическое уравнение, а просто применяя оператор конечное число раз. [c.126] Упражнение. Покажите, что коэффициенты в разложении (5.7.18) можно также записать, использовав у — / вместо у. [c.126] Упражнение. Выведите (5.7.18), не используя разложения по собственным функциям. Указание Примените последовательное интегрирование по частям к (3.3.4) и используйте (4.3.7). [c.126] Вернуться к основной статье