ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Свойство марковости из "Стохастические процессы в физике и химии" В настоящей главе определен и описан подкласс стохастических процессов, обладающих свойством марковости. Такие процессы наи-более важны в физике и химии. В оставшейся части книги мы будем иметь дело исключительно с марковскими процессами. [c.78] Продолжая этот алгоритм, можно последовательно найти Я . 3)то свойство делает марковские процессы особенно удобными в обращении и служит причиной, по которой они оказываются столь полезными во многих приложениях. [c.79] Упражнение. Покажите, что число нейтронов в ядерном реакторе является марковским процессом (ср. с примечанием 3.6). [c.79] Упражнение. Азартный игрок играет в орла и решку. Пусть К/ —его капитал после t бросков. Покажите, что К( является дискретным по времени марковским процессом, и найдите его вероятность перехода. [c.79] Это равенство справедливо также для. многомерного х. Покажите, что любой детерминированный процесс является также марковским, хотя и сингулярного типа. [c.79] Упражнение. Хотя определение марковского процесса и выделяет одно направление времени, пз него же следует аналогичное свойство для обратного упорядочения по времени. Докажите это с помощью (4.1,2). [c.79] Предположим, серия наблюдений одной и той же броуновской частицы дает последовательность координат X,, Х ,. ... Каждое смещение + 1(рис. 4) случайно, но его распределение вероятности не зависит от предыстории, т. е. не зависит от Ху , . Следовательно, марковским процессом является изменение не только скорости, но и координаты X частицы, измеренной в крупномасштабной шкале времени, что предписывается условиями эксперимента. Эта картина является основой теории броуновского движения, приведенной в 8.3. [c.80] Этот пример демонстрирует несколько характерных черт, имеющих общее значение. Во-первых, понятно, что свойство марковости выполняется только приближенно. Если предыдущее смещение Х — оказалось большим, то в точке Х , более вероятна большая скорость. Эта скорость сохраняется в течение короткого времени (порядка времени автокорреляции скорости), и вследствие этого большие значения следующего смещения —Хр окажутся более предпочтительными. Таким образом, тот факт, что время автокорреляции скорости не нуль, приводит к некоторой корреляции между двумя последовательными с.иещенияма. Этот эффект мал при условии, что время между двумя наблюдениями значительно превышает автокорреляционное время скорости. [c.80] менимость понятия марковского процесса не ограничена однокомпонентными процессами, но распространяется также на процессы, имеющие г компонент. Примеры три компоненты скорости броуновской частицы, г химических компонент в реагирующей смеси, Сделаем, однако, одно существенное примечание. [c.81] Наоборот, если заданный физический процесс не является марковским, иногда можно его представить как часть марковского процесса, вводя дополнительные компоненты. Эти дополнительные компоненты нужны для явного описания информации, которая в естественном случае содержалась бы неявно в прошлых значениях переменных. В качестве примера снова рассмотрим броуновскую частицу, но на этот раз в поле неоднородной внешней силы. Тогда изменение скорости в течение времени Ы уже не определяется одними столкновениями, а зависит также от внешней силы и, следовательно, от положения частицы. Координаты частицы зависят от скорости во все предыдущие моменты времени, так что скорость частицы уже не является марковским процессом. Однако двухкомпонентный процесс, образованный скоростью и координатами частицы, является марковским (см. 8.7). [c.82] Любую замкнутую изолированную физическую систему в принципе можно описать с помощью марковского процесса, если ввести все микроскопические переменные как компоненты У. Действительно, микроскопическое движение в фазовом пространстве детерминистично и, следовательно, обладает свойством марковости (ср. с (4.1.3)). Физический вопрос, однако, состоит в том, можно ли найти намного меньшее множество переменных, изменение которых со временем будет описываться многокомпонентным марковским процессом, Хорошо известен, но все еще остается загадочным экспериментальный факт, что это действительно возможно для большинства многочастичных систем в природе. Конечно же, такое описание даже в лучшем случае является приближенным на ограниченно макроскопическом, очень грубом уровне. Такое сведение к намного меньшему числу переменных называют сверткой или проекцией, но обоснование этого приближения затрагивает фундаментальные проблемы статистической механики и все еще является объектом многочисленных дискуссий. [c.82] С другой стороны, уравнение (4.1.4) может означать, что любое решение с начальным условием Р (у, 1а) -- Ь(у — у ) идентично вероятности перехода РI liy- У 1)) Действительно, основное кинетическое уравнение, выведенное в следующей главе для марковских процессов, относится к тому же типу. Однако оно не может гарантировать марковости ввиду того, что ничего не говорит нам о функциях распределения высших порядков . [c.83] Вернуться к основной статье