ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Одномерное движение. Задача о гармоническом осцилляторе из "Квантовая механика и квантовая химия" Собственные функции для одномерного гамильтониана, как и для любого эрмитова оператора, ортогональны, если они относятся к разным собственным значениям. Более того, в одномерных задачах функции, отвечающие финитному движению, всегда невырождены, т.е. каждому собственному значению прина длежит лишь одна собственная функция. Если же энергия такова, что она отвечает непрерывному спектру, то кратность вырождения не превышает двух. Эти два утверждения (как, впрочем, и ряд других, представленных ниже) следуют из теории линейных дифференциальных уравнений второго порядка, и на доказательстве их мы останавливаться не будем, т.е. будем принимать как должное. [c.70] К числу таких утверждений относится и следующее. Пусть одномерный потенциал 1 (л ) ограничен справа (х х) и слева (х бесконечно высокими стенками, так что на границах в точках х и х волновая функция обращается в нуль. Тогда, при расширении потенциального ящика, т.е. при переходе к новым границам х/ и (или) х/ х,, все собственные значения понижаются (Е Е ), а при его сужении повышаются. Для прямоугольного ящика с постоянным потенциалом внутри него (V = О при Х1 . X с ) это очевидно, коль скоро уровни энергии, согласно уравнению (2.8), обратно пропорциональны квадрату ширины ящика. [c.70] Еще одно полезное утверждение заключается в том, что волновая функция низшего по энергии состояния дискретного спектра не имеет узлов, т.е. обращается в нуль лишь на концах интервала, где потенциал конечен. По мере увеличения номера собственного значения число узлов растет, причем оно оказывается равным к, где к - номер уровня (если номер низшего уровня принят равным 0). Это - так называемая теорема Гильберта. [c.70] Если потенциал У(х) непрерывен на отрезке х х х , а вне его обращается в бесконечность, то система собственных функций стационарного уравнения Шредингера с потенциалом У(х) является полной в пространстве й, функций, заданных на этом отрезке, так что любую функцию/(х), х [х J J можно разложить в ряд Фурье по собственным функциям такой системы. [c.70] Ниже мы не будем рассматривать общие конструкции со специальными функциями, а лишь познакомимся с некоторыми частными случаями таких функций и их свойствами на примерах конкретных задач о гармоническом осцилляторе и атоме водорода. И прежде чем переходить к задаче о гармоническом осцилляторе подчеркнем лишний раз, что решения большинства задач квантовой механики, в том числе и одномерных, все же ищутся либо численно, либо в рамках тех или иных приближенных подходов. [c.71] Чтобы это равенство выполнялось при любом у, требуется обращение в нуль всех коэффициентов ряда, т.е. [c.74] Сравнение с классической задачей показывает, что у квантовомеханического осциллятора в отличие от классического энергия зависит только от частоты и может иметь только определенные, дискретные значения (называемые уровнями энергии). [c.76] Множители связаны с коэффициентами А, в равенствах (12) весьма просто А = В 2 , если п четное, и если п нечетное. [c.76] Коль скоро функции - собственные для Н(у), т.е. и для а, причем переводит каждую функцию -ф,, в функцию (с точностью до нормировочного множителя), то оператор а = - у переводит в функцию г[), а потому является оператором понижения. Если нам известна хотя бы одна функция собственная для Н, то с помощью операторов и а (называемых также лестничными операторами) можно построить все остальные. [c.78] Если бы отсчет энергии велся не от минимума потенциала, а только от нулевого уровня то в этом выражении для Е остался бы только второй член, который обычно и записывается для средней энергии. [c.80] Указание использовать решения для прямоугольного потенциального ящика, барьера и гармонического осциллятора. [c.81] Вернуться к основной статье