ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Построение новых систем из "Термодинамический формализм" Пусть система X, f, д) состоит из компактного множества X С К, кусочно-монотонного отображения /, минимального покрытия замкнутыми интервалами (./х, связанного с /, и функции ограниченной вариации д. По этим данным мы различными способами построим новую систему (X, /, д) и покрытие (Jl,. . / ) с улучшеппыми свойствами в одном случае (./х,. .., У ) будет разбиением, в другом — марковским или образующим покрытием, а функция д будет непрерывна в периодических точках. [c.212] Что касается множества X, то опо, вообще говоря, пе будет интервалом (пе только в К, но даже в X) этим объясняется тот факт, что мы не хотим с самого начала ограничиваться отображениями интервалов. [c.212] Напомним, что В — это банахово пространство комплекснозначных функций ограниченной вариации, определенных на X. Обозначим через В аналогичное пространство функций на X, а через Ву — подпространство функций, равных пулю вне множества V С X. Положим также В у = = В/Ву. [c.212] Можно так подобрать (X, /, д), Jl,, Тп) 1ч сохраняющее порядок непрерывное сюръективное отображение X X, что тг о / = / о тг, д = д о тт и iJг = Ji для i = I,. .., N. Кроме того, можно сдепать так, чтобы. /1,. . 1п не пересекались, прообразы точек некоторого счетного множества при отображении тт были двухточечными, а прообразы всех остальных точек — одноточечными. [c.212] Отображение Ф Фот задает изоморфизм банаховых пространств. [c.212] Пусть Ь, . .., Ьа — точки множества X, принадлежащие двум разным интервалам Ji. Предположим, что X, 61,. .., для некоторого /с О, и выберем наименьшее из этих к. Если /г 1, предположим дополнительно, что не является концом какого-либо из интервалов 7 . [c.212] Индукцией по к доказывается, что все точки из г являются предельными точками (слева и справа) других точек из X. Следовательно, все точки множества У являются пределами (по крайней мере с одной стороны) других точек множества X. [c.213] Отсюда видно, что отображение Ф Ф порождает изоморфизм В у В у банаховых пространств. [c.214] Предложение 9.3 (построение марковского разбиения (./1,. . / ) ). [c.215] Можно так выбрать X, /,д), .1, . .., 1м) м сохраняющее порядок инъективное непрерывное отображение тт . X X, что /отг = тго/, дотг = д и rJi с г = 1,. .., ж. При этом разбиение Л, . .., J v) можно сделать марковским. [c.215] С помощью тг отождествим X с некоторым подмножеством множества X так, что f, д являются продолжениями f, д и, 1г = 3 С X, I = = 1,. .., N. Тогда = Х Х будет объединением некоторого множества открытых интервалов (С/а), каждый из которых содержится в некотором и для каждого 11а найдется такое п О, что 11а, /Ра, , Гиа будут интервалами из семейства 11а). причем g f Ua = 0. Каждый интервал 11а отделен от интервалов 11р сверху или снизу некоторой точкой X е X У. [c.215] Напомним, что по предположению. 1 . .. . 7лг, а е[г) равно +1 и —1, если / соответственно возрастает или убывает на, 7г. [c.215] Оно сохраняет порядок, является гомеоморфизмом множества X на его образ и обладает тем свойством, что тгтг тождественно на X. [c.216] Если J, . .., Jn) марковское разбиение, то (Ji,. .., Jn) — образу-ющее марковское разбиение. Каждая точка , Y является предельной для X Y и один из концов каждого интервала Ua является предельной точкой для X Y. [c.218] Соотношения / о тг = тг о / и тг./ = определяют / и связанное с / разбиение (Ji,. .., Jm)- По построению это разбиение является образующим. [c.219] Следствие 9.6. Пусть О = oq ai . .. o.n = 1. Предположим, что отображение f [О, 1] [О, 1] непрерывно п строго монотонно на интервалах [a -i, а.г], а имеет ограниченную вариацию . Пусть, далее, (X, /, д), (Ji,. .., Jn) un получены в результате прлиенения предложения 9.1 к ([О, 1], /, д), ([ао, ai],. .., [ajv i, ам]), а X, /, д), (Л,. .., Jn) и na —в результате пргтенения предложения 9.4 к (X, /, (Ji,. .., Jn). Тогда na определяет биекцию Fix / Fix и для х е Fix можно положить д пах) = д х). [c.220] Каждое множество есть, по построению, интервал в R (т.е. оно связно). Если G Fix / , то переводит этот интервал в себя и, следовательно, содержит некоторую неподвижную точку х G Fix У . Отсюда видно, что na отображает Fix на Fix / , и доказываемое следствие вытекает из замечания 9.5(1). [c.220] Предложение 9.7 (построение д, непрерывного в периодических точках). Если J, . .., Jn) — образующее разбиение и S — множество периодических точек, то можно так выбрать X, /, д), разбиение (Ji,. .., Jn) и сохраняющее порядок сюръективное непрерывное отображение тг X X, что Ji = n J при г = 1,. .., N, п о f = fon, э(0 = 9I 0 P Ф 9 непрерывно на множестве n S. Разбиение (Ji,. .., Jn), вообще говоря, не является образующим. При отображении п прообразы точек некоторого счетного множества двухточечны, а nj)oo6pa3bi остальных точек одноточечны. Кроме того, энтропия h любой f-инвариантной вероятностной меры удовлетворяет соотношению h = = hon, вследствие чего h полунепрерывна сверху. [c.220] Вернуться к основной статье