ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Упражнения из "Термодинамический формализм" Любопытная теорема 5.7 и ее специальные случаи — теорема 5.21, следствие 7.10(с) и замечание 7.11 — появились в работах Лившица [1], [2] и Синая [4] (см. также статью Боуэна [6]). [c.124] Трансфер-матрица, отвечающая взаимодействию Ф сопряжена с оператором ii для трансфер-матрицы справедлив аналог теоремы Перона-Фробениуса . Е имеет положительное собственное значение, которое совпадает со спектральным радиусом это собственное значение равно ехр Р . Спектральные свойства if связаны с кластерными свойствами гиббсовского состояния и аналитическими свойствами дзета-функции. Приведенные факты оправдывают изучение оператора if, которое мы провели при помощи нового метода. [c.124] Единственность гиббсовского состояния — это один аспект отсутствия фазовых переходов в одномерных системах. Другой его аспект проявляется в вещественной аналитичности давления Р, ограниченного на подходящее подпространство взаимодействий. Мы рассмотрели экспоненциально убывающие взаимодействия и установили аналитичность функции Р, показав, что ехр Р является изолированным собственным значением оператора if (здесь мы использовали идею работы Араки [1] по одномерным квантовым спиновым системам см. Синай [4] и Рюэль [5], приложение В). В параграфе 5.28 была введена дзета-функция для подсчета т-периодических точек, взятых со стандартными для статистической механики весами. Она имеет полюс в точке ехр(—Р ), соответствующей собственному значению ехрР оператора if. Другие свойства систем с экспоненциально убывающими взаимодействиями будут приведены в упражнениях (в частности. [c.124] Хотя сильное условие на взаимодействие тина экспоненциального убывания кажется необходимым для доказательства того факта, что ехр Р — изолированное собственное значение оператора Е , аналитические свойства давления Р можно получить при менее ограничительных условиях. Это следует из одного красивого и довольно неожиданного результата Добрушина [4]. К сожалению, его доказательство является трудным, а условия, наложенные на решетчатую систему, — по-видимому, слишком точными. Поэтому за формулировкой доказательством теоремы Добрушина мы отсылаем читателя к оригинальной работе. [c.125] При фиксированных в и М О постоянные а и Ь можно выбрать так, что это неравенство будет выполняться для всех Ф с ЦФЦй М. [c.127] Тогда Аа(т) 1р) 7(i/p) при Л оо для любой непрерывной функции Ifi М R, которая растет не быстрее, чем полиномиально. [c.132] Вернуться к основной статье