ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Математическое программирование из "Методы кибернетики в химии и химической технологии" Геометрическое программирование основано на теореме о среднем, по которой среднеарифметическое положительных чисел всегда больше или равно их среднегеометрическому, т.е. [c.145] В общем случае, число Му есть функции многих переменных 2,. . ., Хп, тогда левая часть соотношения (11,83) есть функция только переменных Ж (г = 1, 2,. . ., /г), а правая — (г = 1, 2,. . ., т) и бг = (7 = 1, 2,. . ., т). [c.146] В соответствии с равенством (11,84), величина М в соотношении (11,83) равна Р х , х ,. . в соотношении (11,78). [c.146] При этом в соотношении (П,85) достигается равенство и, следовательно, и = Р, где Р — минимальное значение(ж , Х2, . [c.147] Суш ественным преимуш еством метода является то, что он позволяет свести сложную задачу оптимизаций нелинейного соотношения к решению системы линейных алгебраических уравнений. Кроме того, в результате вычисления чисел б сразу определяется минимальное значение критерия оптимальности без вычисления значений переменных доставляющих этот минимум. [c.147] Пример 11-8. Используя метод геометрического программирования, рассчитать необходимое число циклов фильтрации объема при общем минимальном времени фильтрации. [c.147] Таким образом, общее время для переработки фильтрата объема У . [c.147] Для решения задачи оптимизации требуется вычислить число циклов п, при котором 0 будет минимальным. - . [c.147] Линейное программирование. Нахождение экотремул а критерия оптимальности в задачах с линейными ураБненнями представляет собой задачу метода линейного программирования. Целевая функция выражается в виде . [c.148] Для двухмерных задач симплекс-метод означает, что прямая перемещается параллельно самой себе (см. рис. П-18). Для п-мерной задачи система неравенств определяет границы выпуклого многогранника и параллельно самой себе перемещается не прямая, а гиперплоскость. Решение всегда находится в вершине (если оно единственное) или заполняет ребро многогранника. Алгоритм пос.тедова-тельности приближений закладывается в программу для вычислительной машины. [c.148] Пример 11-9 . Предиоложим, что выпущены продукты А и В п стоимость их каждой единицы составляет соответственно 3 и 5 руб. Найти максимальную прибыль и количество единиц каждого продукта и х . Решим эту двухмерную задачу методом линейного программирования. [c.148] Максимум целевой функции найдем по пунктирной линии, проходящей через точку О, которая лежит на экстремальной точке заштрихованной площади и таким образом также удовлетворяет принятым ограничениям. Оптимум представляет собой прибыль в 45 руб. от производства А в количестве = 2,5 единиц и Л в количестве XJ = 7,5 единиц. [c.149] Динамическое программирование. Этот метод применяется для многостадийных процессов, характерйзуемых последователъностыо решений, когда состояние системы зависит только от предыдущего шага и не зависит от ранее сделанных шагов. [c.149] Основная идея динамического программирования и заключается в том, что если какой-либо поток изменяется на каждой стадии процесса, то если па последней стадии режим работы (независимо от режима работы на всех стадиях) не будет оптимальным но отношению к поступающему на нее потоку, не будет оптимальным- и режим всего многостадийного процесса в целом. [c.149] Применение метода динамического программирования состоит в определении такого режима работы стадии, который максимизирует доход на этой и всех последующих стадиях для любых возможных состояний поступающего на нее потока. Обычно рассмотрение начинается с последней стадии процесса. Оптимальный релшм всего процесса определяется постадийно. [c.149] Таким образом метод динамического программирования предполагает разбиение анализируемого процесса во времени или пространстве на стадии или ступени. В качестве стадии можно принять единицу времени (минута или час), единичный элемент оборудования, (тарелка в дистилляциоипой колонне или реактор в цепочке реакторов). [c.149] На рис. И-19 представлен многостадийный процесс (М — общее число стадий в процессе). Каждая стадия характеризуется переменной X и имеет входы и выходы. При помощи управляющих воздействий у оптимизуется переменная а и (ум) и выражает выигрыш, получаемый на Л -й стадии при надлежащем выборе ук в пределах от О до а . [c.150] Символ тах связан с переменной z/jv и означает, что максимизация достигается подбором надлежащего значения j/jy в пределах О — X. Член фдг (г/лО выражает выигрыш, получаемый на N- стадии нри надлежащем выборе yrf в пределах от О до х. [c.150] Полученное соотношение представлено прямой линией в нижней. половине рпс. П-21. [c.152] Полученное соотношение представлеио в виде семейства гипербол в верхней половине рпс. П-21 с отношением как параметром. Минимальное значение к (Т2 -И Тз) п,1п находим графически, (рис. П-21, а), как минимальное расстояние между данными кривыми и наклонной прямой. [c.152] Вернуться к основной статье