ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Метод отображения источников-стоков из "Избранные труды Том 1" Поясним сушность метода отображения источников-стоков на примерах отображения в прямолинейном и круговом контурах применительно к нескольким плоским задачам гидродинамики. [c.126] В этом смысле употребляемый нами термин линейный источник является образным и полезным для плоской задачи теории фильтрации, хотя, надо оговориться, в теории поля этот термин имеет обычно иное значение. [c.126] Требуется найти полное гидродинамическое решение задачи, т. е. определить характеристическую функцию и затем построить картину линий тока и изобар для такого гидродинамического поля, которое имеет сток дебита д в точке 0)1 и в котором одной из изобар служит наперед заданный прямолинейный контур 5о. Эту проблему возможно решить с помощью метода отображения стока в контуре 5о. [c.126] Найдем точку 0)2, служащую зеркальным отображением точки 0)1 относительно прямой 5о. Поместим в точке Ы2 источник дебита д так, чтобы мощности источника 02 и стока 0)1 были одинаковы. Покажем, что подобное прибавление источника 0)2, отображающего сток 0)1 в контуре 5о, вполне решает поставленную выше задачу. [c.126] Чтобы найти изобары и линии тока, достаточно составить характеристическую функцию течения при наличии источника и стока она определяется формулой (30) или (33) соответствующее гидродинамическое поле дано на рис. 6. Отсюда следует, что полученное гидродинамическое поле действительно решает задачу, ибо в точке (01 этого поля имеется сток, а ось у, являющаяся одной из изобар, может быть принята за контур Sq. [c.127] Вся жидкость, выходящая вдоль линий тока из точечного источника (02, прежде чем попасть в сток (оь протекает через каждую изобару (см. рис. 6). Поэтому-то любую из изобар, в частности прямолинейную изобару 5о, можно рассматривать как линейный источник дебита q, а следовательно, установив гидродинамическую картину во всей плоскости, можно теперь установить только интересующую нас часть плоскости — область со стоком (01, ограниченную справа изобарой ( линейным источником ) Sq. Установление гидродинамического поля и характеристической функции было возможно только потому, что мы первоначально мысленно д обавили отображенный точечный источник и тем свели задачу к более простой и уже решенной раньше. Подобное вспомогательное, фиктивное добавление источника вполне законно, ибо оно не нарушило условий первоначально поставленной нами задачи — характеристическая функция, а следовательно, и семейства изобар и линий тока, для точечного стока oi и линейного источника (изобары) So таковы же, как для точечного стока 031 и точечного источника 0З2 в этой последней задаче Sq играет роль промежуточной изобары. Условия задачи были бы нарушены только в том случае, если бы среди изобар для точечных стока и источника не оказалось бы изобары, совпадающей с заданным линейным источником . [c.127] Эту задачу можно также решить методом отображения стока в окружности vSo. Как уже упоминалось в п. 2 4, точка 0З2, взаимно симметричная с 0З1 относительно So, может быть рассматриваема как обобщенное зеркальное отображение точки 031 в окружности So. Найдя такую точку, графически или аналитически из равенства (41), поместим в ней источник дебита q таким образом сток 031 отображаем в окружности So источником 0)2. [c.127] Составив характеристическую функцию и установив характер гидродинамического поля, мы можем, как и в предыдущей задаче, вновь ограничиться только областью плоскости, заключенной внутри 5о, отбросив все остальные вспомогательные построения, лежащие вне контура 5о. [c.128] Поскольку, согласно 3 и 4, такая пара точек может быть найдена (и притом только единственная пара), если заданы контуры 5о и 1 (даны их радиусы Яо, Я и расстояние между центрами к), постольку обобщенный метод отображения источников и стоков может быть сформулирован так В том случае, когда даны два круговых контура (изобары) 5о и 5ь один из которых является линейным источником, а другой линейным стоком, — гидродинамическое решение может быть найдено, если вообразить себе точечные сток и источник (той же мощности, что и линейные), помещенные в точки (01 и (02, взаимно симметричные относительно обоих данных контуров 5о и 5ь так что источник (02 может рассматриваться как зеркальное отображение стока (01 в окружностях 1 и 5о . [c.128] Положение (01 и (02 вполне определяется значениями величин аир, которые могут быть найдены по формулам (44) и (46) характеристическая функция определяется формулой (30) или (33), причем за начало координат в плоскости комплексного переменного берется середина расстояния между биполюсами (01 и 0)2. [c.128] Метод зеркальных отображений источников-стоков был ширб-ко использован в гидродинамике [40] и в теории потенциала Ма-тье и Кельвином Форхгеймер [79] использовал этот метод, исследуя влияние реки (с прямолинейными параллельными берегами) на расположенные вблизи колодцы, питающиеся безнапорной грунтовой водой большое значение этот метод имеет и в теории электромагнитного поля — см. Хэг [83]. [c.129] Вернуться к основной статье