ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Метод золотого сечения из "Методы оптимизации в химической технологии издание 2" До сих пор рассматривались методы поиска оптимума, в которых для определения величины и направления шага поиска применялся предварительный анализ производных оптимизируемой функции по всем независимым переменным задачи. Нахождение производных при наличии трудновычислимого критерия оптимальности связано с необходимостью выполнения большого объема вычислений, что может привести к существенному увеличению времени поиска, особенно при большом числе независимых переменных. [c.500] Некоторые из этих методов целесообразно применять в сочетании с градиентными методами, что позволяет иногда построить довольно эффективные алгоритмы для решения задач нелинейного программирования. [c.501] Безградиентные методы, кроме того, по характеру наиболее пригодны для оптимизации действующих промышленных и лабораторных установок в условиях отсутствия математического описания объекта оптимизации. Неизбежные погрешности при измерениях величин, характеризующих значение целевой функции для действующего объекта, могут привести к существенным ошибкам в определении направления движения к оптимуму с помощью градиентных методов, поскольку при расчетах производной как разности значений критерия оптимальности ошибка может достигать сотен процентов даже при небольшой относительной погрешности вычислений значения критерия оптимальности. В таких случаях целесообразнее выполнить несколько измерений критерия оптимальности в одной и той же точке (чтобы найти наиболее вероятное его значение), чем провести столько же замеров в различных точках, необходимых для расчета производных. [c.501] Прежде чем перейти к изложению методов многомерного поиска, рассмотрим также ряд алгоритмов одновременного поиска, т. е. поиска экстремума функции одной переменной, которые часто используются не только как самостоятельные методы оптимизации, но также и как вспомогательные (например, при спуске по направлению) в многомерных методах оптимизации. [c.501] Предположим, что задача состоит в определении положения экстремума функции одной переменной на интервале [а, Ь]. Для решения этой задачи разобъем весь интервал на N равных частей. На рис. IX-16 показано такое разбиение для N = 4. На границах всех подынтервалов, включая конечные точки интервала [а, Ь], вычисляются значения функции R(x). [c.501] Оказывается, что еще лучшие результаты могут быть получены, если деление интервала [а, Ь], в котором находится экстремум, производить не на целое число частей, а в определенном иррациональном отношении. [c.502] Допустим, что на концах интервала [а,Ь], т. е. при (°)=а и л (3) — Ь, а также в двух некоторых внутренних его точках х и х значения функции R(x) известны. Это дает возможность выбрать один из подынтервалов [х х ] или [лЯ, хЩ, где будет локализовано экстремальное значение функции R(x). [c.502] Тогда можно записать рис- 1Х.17 Одномерный поиск методом j (3) — jt = / — у (IX, 80) золотого сечения . [c.503] В этой точке рассчитывается значение функции ( ), после чего снова выбирается сокращенный подынтервал в интервале /1 + /2, локализующий экстремум, т. е. вычисления повторяются, начиная с п. 4 до тех пор, пока не будет получена требуемая точность нахождения положения экстремума. [c.504] Другими словами, при применении метода золотого сечения для того же числа расчетов значений R(x) достигаемая точность в 10 раз выше. Для больших значений s выигрыш в точности будет еще существеннее. [c.505] Вернуться к основной статье