ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Решение уравнения Веллмана из "Методы оптимизации в химической технологии издание 2" Выше уже отмечалось, что метод динамического программирования находит весьма широкое применение при решении задач оптимизации процессов химической технологии. Значительное число примеров соответствующих оптимальных задач, сформулированных в терминах указанного метода, можно найти в литературе [2, 3]. В подавляющем большинстве практических задач конечное решение получают только в численной форме. Однако в очень простых случаях оно может быть найдено в аналитическом виде, что видно из приведенных ниже примеров, которые наглядно позволяют проследить основные моменты использования метода динамического программирования при решении задач оптимизации. [c.287] Пример VI-1. В каскаде N реакторов идеального смешения проводится реакция А-+-Р, имеющая первый порядок по исходному веществу А. Определить минимальное время пребывания т.(я реагентов в каскаде и распределение этого времени по всем реакторам т (i = 1,. .., N), необходимое для достижения заданной степени превращения вещества А в каскаде. Температура во всех, реакторах принимается одинаковой. [c.287] Выражение (VI, 86) уже определяет минимальное значение R, которое можно получить при оптимальном выборе всех 0г- (t = 1,. ... N) для заданного значения xW на выходе каскада. [c.289] На этом первый этап решения оптимальной задачи методом динамического программирования заканчивается и дальнейший ход решения состоит в отыскании оптимальных величин 6i для всех реакторов каскада при заданных значениях х и ), причем используется формула (VI, 83) совместно с уравнениями математического описания (VI, 68). [c.289] найденное значение 02 в точности равно значению 0i, определяемому формулой (VI, 85). [c.290] Таким образом найдено, что в изотермическом каскаде реакторов идеального смешения оптимальное распределение, времени пребывания по всем аппаратам будет в том случае, если объемы всех реакторов равны между собой (одинаковое время пребывания т во всех аппаратах). При этом время пребывания реагентов в каждом реакторе п (i = , . .., N), при котором достигается заданная степень превращения исходного реагента А, т. е. определенная величина отношения я(0)/ (ЛЛ рассчитывается по формуле (VI, 90). Общее время пребывания реагентов в каскаде характеризуется величиной /лг (VI, 86), рассматривав мой для заданного значения л ( ) как функция величины (°). [c.290] Эти же результаты были получены выше при применении метода неопределенных множителей Лагранжа. [c.290] Пример VI-2. Для условий примера VI-1 требуется найти распределение заданного общего времени пребывания T(JV) по всем реакторам каскада, при котором на его выходе получается минимальное значение концентрации исходного реагента А. [c.290] Теперь предстоит второй этап решения задачи оптимизации — определение значений 6г, которые в данном случае могут быть найдены как функции величины X. [c.292] Тот же результат может быть получен и в случае, если вычисления продолжаются в соответствии с методикой использования множителей Лагранжа в динамическом программировании. [c.292] Таким образом, рассматриваемая оптимальная задача решена до конца. [c.293] Пример VI-3. Графически проанализировать процедуру оптимизации каскада реакторов для реакции произвольного порядка. Формулировка оптимальной задачи такая же,, как и в примере VI-1, т. е. для заданной степени превращения исходного вещества А в каскаде (для заданной концентрации ) на его выходе) определить время. пребывания Ti для всех реакторов так, чтобы общее время пребывания реагентов в каскаде было минимальным. [c.293] Перечисленные зависимости изображены на рис. VI-18, где стрелкой показано направление смещения графика зависимости (VI, 126) при увеличении значения x(N 2). [c.294] Проводя аналогию между непрерывным и дискретным процессами, можно заметить, что для системы уравнений (VI, 231) соответствующее математическое описание многостадийного процесса имеет вид конечных соотношений (VI, 2). В случае дискретного процесса граничным условиям (VI, 132) отвечает вектор состояния входа первой стадии лК°). [c.296] Принципиально можно рассматривать непрерывный процесс как дискретный с достаточно большим числом стадии N, и, таким образом, применять описанную в предыдущих разделах методику оптимизации для этого процесса. Зачастую именно такой путь оптимизации непрерывных процессов и используется, тем более, что при решении оптимальных задач на вычислительных машинах интегрирование дифференциальных уравнений обычно выполняется с применением разностных методов, по существу заменяющих непрерывный процесс его дискретным приближением. Однако получаемые при применении принципа оптимальности уравнения для непрерывного процесса могут иметь самостоятельный интерес, поскольку при этом появляется возможность их решения иными методами. [c.296] При выводе выражений, которые для непрерывных процессов заменяют рекуррентное соотношение (VI, 33), можно было бы проанализировать предельный переход при бесконечном увеличении числа стадий (N- oo) в данном соотношении. Однако этот путь страдает отсутствием наглядности, поэтому в приведенном способе используются непосредственно соотношения (VI, 131) и (VI, 133). [c.297] Это означает, что определена оптимальная траектория xoin(t), по которой процесс переходи из начального состояния я(°) в конечное х . Указанная траектория, т. е. зависимость x(t), может быть найдена в результате интегрирования уравнения (VI, 134) с граничным условием (VI, 136) при оптимальном управлении Мопт(0 (рис, VI-21, кривая 1). [c.297] Допустим, что задача оптимизации сформулирована как задача максимизации функционала (VI, 135), и обозначим максимальное значение функционала, получаемое при подстановке в него функций м0пт(0 и. л опт(0 через f(xP 0)), т. е. [c.297] Величина f при этом может рассматриваться как функция значений (0) и /(0). [c.297] Вернуться к основной статье