ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Граничные условия из "Методы оптимизации в химической технологии издание 2" Введем такую дифференцируемую произвольную функцию w(t), чтобы она обращалась в нуль на концах интервала интегрирования в соотношении (V, 48), т. е. [c.210] Поскольку x(t) является экстремалью функционала /, величина 7(е), определяемая соотношением (V, 52), должна иметь экстремум при е = 0 и, следовательно, ее процзводная dl(e)/ds при 8 = 0 должна обращаться в нуль как производная функции одной переменной в точке экстремума. [c.211] В соответствии со сказанным выше, производная / (0) должна быть равна нулю, что требует равенства нулю интеграла в правой части уравнения (V, 56), т. е. [c.211] Теперь условие того, что функция x(t) есть экстремаль функционала /, может быть сформулировано как требование равенства нулю первой вариации функционала б/ (V, 64), откуда также следует найденное выше уравнение Эйлера. [c.212] Понятие вариаций функционала в вариационном исчислений аналогично понятию дифференциала в обычном анализе. Подобно тому, как в анализе дифференциал функции dx характеризует приращение функции x(t) при изменении независимой переменной t на бесконечно малую величину dt, первая вариация функционала б/ определяет приращение функционала /при бесконечно малом варьировании функции x(t). [c.213] Таким образом, в вариационном исчислении задача отыскания неизвестных функций сводится к решению дифференциальных уравнений. Аналогично тому, как. в анализе условие равенства нулю дифференциала dx функции x(t) является только необходимым условием экстремума функции x(t), уравнения Эйлера обеспечивают также лишь необходимые условия экстремума функционала. [c.213] Другими словами, возможны случаи, когда решение уравнений Эйлера дает не экстремаль, а линию иной природы, что можно сравнить с решением уравнения dx/dt = 0, определяющего не только экстремальные точки функции х, но также и точки перегиба, в которых производная обращается в нуль. [c.213] Следовательно, после того как найдено решение уравнений Эйлера, предстоит еще убедиться, что функционал при этом принимает экстремальное значение и что оно нужного типа. Лишь после подобной проверки можно считать, что оптимальная задача решена до конца. [c.213] Соотношения (V, 66) и (V, 67), называемые обычно условиями Лежандра, соответствуют обычным условиям на вторую производную, используемым в анализе. [c.214] При выводе уравнения Эйлера (V, 59) отмечалось, что его решение содержит две произвольные постоянные интегрирования, значения которых должны определяться из граничных условий. [c.214] Простейшим видом граничных условий являются приведенные выше условия (V, 62), которые соответствуют случаю отыскания экстремали, соединяющей две заданные точки фазового пространства переменных (см. рис. V-1), отвечающих начальному и конечному состояниям процесса. [c.214] Если граничные условия для уравнения (V, 59) заданы в форме . [c.214] Условие (V,73) для выхода реактора представляет собой частный случай более общего условия (V, 20) для незакрепленного конца траектории, когда уравнение (V, 73) определяет на фазовой плоскости прямую линию (рис. V-4), показывающую, что на выходе аппарата концентрация исходного продукта реакции А может быть любой. [c.215] Таким образом, для нахождения всех значений неизвестных величин (Сь С2, (0), ft), я(0) и jtfft)) в дополнение к уравнениям (V,71) необходимо иметь еще два соотношения, получаемые из условия экстремума функционала (V, 48). [c.215] Найдем теперь для функционала (V, 48) первую вариацию 61, которая должна обращаться в нуль, если функция x(t) является экстремалью функционала. [c.215] Если теперь x(t) является экстремалью функционала (V, 48), то его первая вариация (V, 82) должна обращаться в нуль. При этом интеграл в выражении для вариации обращается в нуль вследствие того, что, экстремаль x(t) удовлетворяет уравнению Эйлера и, следовательно, обращает в нуль подынтегральное выражение. [c.217] В соотношениях (V,86) и (V, 87) через ( J)(ft)) обозначено выражение для тангенса угла наклона касательной линии в точке пересечения экстремали к линии, определяемой выражением (V.75). [c.217] Возвращаясь снова к задаче нахождения постоянных интегрирования в общем интеграле уравнения Эйлера (V, 68) при граничных условиях (V, 19) и (V, 20), заметим, что условия трансверсальности, записанные для обоих концов экстремали, дают как раз недостающие два соотношения, которые совместно с системой уравнений (V, 71) и позволяют определить совокупность шести неизвестных величин Сь С2, t(° и х . [c.218] Пример V-3. Для функционала (V, 44), рассмотренного в примере V-2 [дан реактор идеального вытеснения, где проводится параллельная реакция первого порядка (V, 30)], записать уравнение Эйлера с граничными условиями, определяющее экстремаль функционала x(t). Эта экстремаль представляет в исходных обозначениях оптимальное соотношение между концентрацией исходного вещества А и продукта реакции ХА — ХА(ХР), при котором заданный выход продукта Р достигается в реакторе с минимальным временем пребывания реагентов. [c.219] Вернуться к основной статье