ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Постановка задачи Физическая модель процесса, основные уравнения задачи и условия единственности решения из "Введение в теорию подобия" Изучение общих количественных закономерностей явления может быть плодотворным только при том условии, если в его основе лежит достаточный объ-ем физических знаний. Количественному исследованию предшествует длительный сложный процесс формирования физических представлений. Своими корнями этот процесс глубоко уходит в опыт. На известной ступени развития он приводит к модели явления, т. е. к физической схеме, которая уже допускает применение какого-либо количественного физического закона непосредственно или через специальные дополнительные гипотезы. Модель явления представляет собой результат схематизации реальной картины. Степень схематизации зависит от общего замысла и целей анализа, от ожидаемой полноты и точности решения. Но во всяком случае в объекте исследования должно быть выделено основное. Целесообразно построенная модель должна отчетливо отражать наиболее существенные черты явле1 ия второстепенные подробности моделью не воспроизводятся. Таким образом, количественный анализ всегда имеет дело не с реальным явлением во всей его конкретной сложности, а с результатом более или менее далеко идущей схематизации. Тем не менее переход от физической модели к ее количественному описанию связан с большими трудностями, которые обусловлены самой природой исследуемых задач. Здесь возникают две возможности. [c.13] Однако та степень отчетливости физических представлений, которая необходима для вывода уравнений, не всегда может быть достигнута. В этих условиях приходите удовлетвориться такими соотношениями, которые характеризуют процесс только в самых общих чертах и, конечно, выражают существенно меньший объем знаний о его физическом механизме. Метод обобщенных переменных с успехом может быть использован в обоих случаях, т. е. независимо от того, следует ли исходить из уравнений процесса или из соотношений более общего характера. Если иметь в виду только приложения интересующего нас метода исследования (а не подробное аналитическое исследование), то все это различие в объеме предварительных знаний, несомненно очень существенное, вообще не имеет принципиального значения. Пожалуй, можно говорить лишь о некоторых оттенках в технике применения метода. Вначале мы будем строить все рассуждения в предположении, что уравнения, определяющие процесс, известны, и покажем, как развивается исследование в этом случае. Метод обобщенных переменных в применении к случаю, когда уравнения не могут быть составлены, рассматривается в заключительной главе. [c.14] мы полагаем, что уравнения, определяющие исследуемый процесс, известны. В большинстве случаев они имеют форму дифференциальных (интегральных, интегро-дифференциальных) уравнений. Эти уравнения, в которых выражены наши физические представления, принято называть основными уравнениями исследуемой задачи. Весьма часто изучаемые явления настолько слон ны, что их невозможно достаточно полно исследовать на основе только одного физического закона. Возникает необходимость в рассмотрении различных сторон модели и в привлечении разных физических законов. В этих случаях процесс Б целом определяется уже не одним уравнением, а системой основных уравнений. [c.14] Важная особенность рассматриваемых задач заключается в том, что приходится исследовать явления, развивающиеся под влиянием большого числа разнородных факторов. Каждый из этих факторов должен быть сбответствующ образом отражен в уравнениях. Поэтому получаются уравнения, содержащие большое число величин различной физической природы. [c.15] простые и ясные физические идеи, составляющие содержание общих физических законов, предстают перед нами в форме чрезвычайно сложных уравнений потому, что простота исходных представлений неизбежно теряется при переходе к первоначальным величинам, в которых должны быть составлены основные уравнения задачи. Простые, понятные по своему физическому смыслу, связи между первоначальными величинами можно установить только в самых элементарных случаях. При рассмотрении задач, типичных для современного уровня знаний, складывается гораздо менее благоприятная обстановка. Исследуемые физические эффекты могут быть представлены только в форме дифференциальных (или еще более сложных) выражений, и именно эти выражения связываются между собой при построении основных уравнений задачи. Конечно, полученные уравнения содержат определенный объем знаний о характере зависимостей между интересующими нас переменными. Но выражены эти знания в такой форме, что непосредственно никаких заключений о конкретных соотношениях между переменными сделать невозможно. [c.17] Физические законы в первоначальных величинах, стественно, возникает вопрос, является ли этот шаг неизбежным и нельзя ли, вообще отказавшись от перехода к первоначальным величинам, исследовать задачу в тех переменных, которые соответствуют физической природе изучаемого процесса и непосредственно определяют эффекты, подлежащие рассмотрению. [c.17] применение первоначальных переменных является совершенно неизбежным. Как мы убедились, это приводит к существенному осложнению исследования. Однако мы еще не получили достаточно ясного представления о действительном характере возникающих трудностей, так как все предшествующие рассуждения ограничены кругом вопросов, связанных с анализом одних только основных уравнений. Между тем здесь требуется рассмотрение проблемы в полном ее объеме. [c.18] Таким образом, основные уравнения определяют только те свойства явлений, которые надо рассматривать как общие для всего класса. Никаких знаний относительно специфических признаков даннога явления, которыми оно выделяется из всего множества других явлений того же класса, эти уравнения содержать не могут. Физические причины, порождающие индивидуальные отличия явления, надо искать в особенностях обстановки развития процесса — таких, как геометрические и физические свойства системы, ее состояние к моменту возникновения процесса, влияние окружающей среды и т. п. Они должны быть заданы в какой-то другой форме независимо от основных уравнений и дополнительно к ним. Отсутствие этих данных неизбежно приводит к той степени неопределенности, которая соответствует различию между общим механизмом процесса и конкретной формой его осуществления. В зависимости от физической природы процесса дополнительные условия, необходимые для выделения единичного явления, могут весьма сильно различаться и по объему, и по характеру выраженных в них знаний. Но с математической точки зрения неопределенность, заложенная в основных уравнениях (если их рассматривать вне Связи с какими-либо дополнительными знаниями), проявляется во всех случаях вполне единообразно. [c.19] Действительно, совершенно очевидно, что правильно построенное количественное описание любого явления должно удовлетворять следующему основному требованию заданному значению величин, которые по постановке задачи рассматриваются как независимые переменные, могут отвечать только вполне определенные, единственно возможные значения всех искомых величин (т. е. величин, представляющих собой переменные зависимые). Именно такое строго однозначное соответствие между з ачениями различных величин создает полную определенность, характерную для конкретного явления. Между тем, если исследование основано только на уравнениях задачи (без учета дополнительных условий), то возможность прийти к однозначным зависимостям исключена. Решением уравнения является некоторое аналитическое выражение — общий интеграл уравнения, которым искомая величина определяется как функция независимых переменных. Раз меется, всякая функция, являющаяся решением уравнения, должна при подстановке обращать его в тождество — это единственное требование, которому она обязана удовлетворять. Но во всех случаях таких функций можно найти бесчисленное множество, и каждая из них, следовательно, должна рассматриваться как одно из решений уравнения. Общий интеграл включает в себя все эти решения, которые должны получаться из него как частные случаи (частные решения). Эта характерная многозначность отражена явным образом в самой структуре общего интеграла, так как в его состав входят постоянные (константы интегрирования), значения которых могут быть выбраны совершенно произвольным образом. Общий интеграл превращается в одно из частных решений, когда постоянным интегрирования приписываются некоторые определенные значения. Таким образом, уравнение имеет бесчисленное множество различных решений. Но лишь одно из них устанавливает такую связь между переменными, которая отвечает данному конкретному явлению, и, значит, именно оно (это единственное решение) представляет собой не только решение уравнения, ьо и решение задачи. [c.20] В развитии процесса важную роль играют величины, характеризующие физические свойства среды (существенные для этого процесса). Эти величины — физические константы — являются постоянными пара-метрами задачи, которые должны быть заданы непосредственно по условию. (Если приходится учитывать изменяемость физических свойств среды, то задача значительно усложняется и возникает новая проблема, которая рассматривается позднее.) Между тем они входят в основные уравнения в обшем виде и, следовательно, в самих уравнениях не содерлсится никаких данных относительно их значений. Поэтому значения в сех физических констант (существенных для процесса) должны быть определены дополнительно. Для процесса существенны также геометрические свойства системы, которые весьма часто вообще никак не отражаются в основных уравнениях. В количественной форме геометрические свойства системы определяются посредством соответствующих ее размеров, и, следовательно, размеры системы также представляют собой постоянные параметры задачи, которые должны быть известны по условию. Таким образом, дополнительно к основным уравнениям условиями задачи должна быть определена совокупность постоянных параметров, характеризующих геометрические и физические свойства системы, существенные для процесса. Однако требуемая степень определенности одним этим еще не достигается. [c.22] Что касается конкретного содержания условий единственности, то, очевидно, они могут включать в себя только такие сведения, которыми мы располагаем на самом деле, в реальной практической обета-ловке. Лучше всего, если условия единственности удается свести непосредственно к заданию некоторого ряда значений переменных (и их производных) этим создаются большие преимущества при решении задачи. Однако в действительности такого рода данные не всегда имеются в нашем распоряжении, и в некоторых случаях приходится мириться с тем, что приемлемая для практики форма представления условий единственности приводит к уравнениям, не уступающим в сложности основным уравнениям задачи. В этих случаях также необходимо задать значения некоторых величин. Но характеризуют эти величины условия в окружающей среде (а не в системе), и обычно они более доступны для нецосредственного определения. Поэтому их значения чаще можно вводить в условия задачи в качестве заранее известных параметров. Во всяком случае, условия единственности при любой форме их построения привносят с собой ряд постоянных значетшй исследуемых величин, которые совместно с величинами, характеризующими геометрические и физические свойства системы, образуют совокупность постоянных параметров задачи. Присоединяя эту совокупность к системе уравнений (основных, а в некоторых случаях и дополнительных), т. е. вводя в условие фиксированные значения всех параметров задачи, мы однозначным образом определяем единичное конкретное явление. [c.23] Для обширного класса задач, так называемых краевых задая математической физики (которые представляют для нас наибольший интерес, и в дальнейшем явятся основным предметом изучения), условия единственности в общем случае должны содержать большой объем предварительных знаний о свойствах процесса. Ими должны быть определены значения искомых переменных как в начальный момент по всему объему пространственной области, охваченной процессом (т. е. для всех точек системы), так и в тече ние всего процесса на ее границах. Позднее подробно рассмотрим относящиеся сюда соображения. Здесь только условимся о том, что эти множества значений будем сокращенно называть начальными и, соответственно, граничными полями переменных. [c.24] приступая к решению правильно поставленной задачи, располагаем системой уравнений и совокупностью значений постоянных параметров. На этой основе каждая из известных величин должна быть определена как однозначная функция независимых переменных и параметров. Следовательно, аргументами задачи являются не только независимые переменные, но и параметры, т. е. величины, имеющие определенные фиксированные значения для данного явления, но изменяющиеся при переходе от одного явления к другому. Это главное в рассматриваемом вопросе. Связь между искомыми величинами и неза висимыми переменными не может быть непосредственной она с неизбежностью должна быть выражена через другие величины — параметры, которыми определяется влияние собственных свойств системы на развитие процесса. Изучая законы изменения искомой величины в функции от некоторой независимой переменной, мы не можем выделить интересующую нас зависимость в чистом виде, так как на нее накладывается влияние многочисленных разнородных факторов, представленных через соответствующие параметры. [c.24] Вернуться к основной статье