ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Анализ размерностей с приложениями к гидродинамике из "Гидродинамика, теплообмен и массообмен" В предшествующих главах мы рассмотрели несколько случаев течения аналитически, при помощи уравнений движения. Однако во многих технических задачах течения настолько сложны, что проинтегрировать дифференциальные уравнения движения не удается. Например, коэффициент сопротивления при обтекании цилиндра (см. рис. 8. 9) при Ке 1,0 нельзя определить теоретически, а приходится получать из эксперимента. Уравнения движения решены для течения в круглой трубе и для обтекания пластинки, но не решены для случая обтекания пучка труб или движения жидкости в слое шаровой насадки и для многих других задач. [c.158] Когда аналитический подход не приводит к решению, рациональному исследованию часто помогает использование метода анализа размерностей. Возможности и пределы применимости этого метода будут ясны из дальнейшего изложения и примеров этой главы. [c.158] Килограмм-сила определяется как сила, которая нри действии на килограмм массы сообщает ему ускорение 9,807 м1сек , равное нормальному ускорению силы тяжести. 1 кГ равен 9,807 н, т. е. 9,807 кг-мкек . В системе РЬТ масса имеет размерность а 1 техническая единица массы т. е. м.) равна 1 пг сек Ы. [c.159] Килограмм-сила, определенный в системе РМЬТ, имеет определенное фиксированное значение и не зависит от местного значения g, как зависит от него фунт веса или килограмм веса. [c.159] Значение g , конечно, выбрано так, чтобы на 1 килограмм массы в нормальном ноле тя кести действовала сила в 1 килограмм-силу. [c.160] Если читатель считает, что система с четырьмя основными единицами менее обоснована или более произвольна, чем система с тремя основными единицами, то вскоре будет показано, что можно разработать и систему, в которой только две основные единицы. Иными словами, число основных единиц можно выбирать так, чтобы обеспечить удобство исследования. [c.160] Чтобы уравнение было верным при любом согласованном выборе единиц измерения, оно должно быть однородным по размерности, т. е. все члены уравнения должны иметь одинаковую размерность. В системе РМЬТ, чтобы обеспечить однородность по размерности, в законе Ньютона нужна размерная постоянная g Ее численное значение зависит от системы единиц измерения. Например, она может быть равна 9,81 кг-мЫГ -сек . Любые числа, входяш ие в однородное но размерности уравнение, безразмерны. Уравнение (14. 6), если его записать в виде 9,81 Р — Ма, перестанет быть безразмерным. В таком виде оно не справедливо при единицах, отличных от тех, которые входят в уравнение (14. 8). С другой стороны, в системе МЬТ уравнение (14. 1) однородно по размерности. Так как число основных размерностей уменьшено на единицу, а Р приписана размерность произведения Ма, g принимает безразмерное значение, равное 1. [c.160] Как указано выше, можно разработать систему с двумя основными единицами механической природы . [c.160] Такид образом, в этой системе МЬ размерность силы а единица силы г 1см . Одна астрономическая единица силы (ас) равна 6,7 10 г-см/сек дин). [c.161] До сих пор рассматривались только системы механических единиц. Если существенны тепловые эффекты, то используются размерности температуры 0 и энергии Н. Таким образом, полный набор основных размерностей, используемых в этой книге, состоит из. Л/, Ь, Т, Н и 0. Конечно, число основных единиц мояшо уменьшить не только за счет механических величин, но и за счет энергии Я, имеющей размерность МЬ Т . Размерности производных величин можно установить по сводке обозначений, приведенной в гл, 1. Очевидно, используемую систему кг, м, сек, ккал, °С можно заменить любой другой согласованной системой единиц. [c.161] Даже если оказывается невозможным проинтегрировать уравнения Навье — Стокса для данной задачи, их можно использовать, чтобы выяснить, как должны сгруппироваться переменные, входящие в выражение для решения. [c.162] Напишем сначала уравнение Навье — Стокса для направления оси X в случае стационарного движения. [c.162] Это уравнение, конечно, однородно по размерности. Размерность каждого члена равна ЬТ . [c.162] Если экспериментально найти зависимость от Ке (такая зависимость показана на рис. 8. 9) для данной жидкости и данного цилиндра (скажем, путем измерения силы сопротивления в зависимости от скорости), то найденную зависимость можно использовать для определения сил сопротивления для других цилиндров и жидкостей. [c.163] Хотя анализ размерностей не дает явного вида связи между переменными, форма этой связи ограничивается настолько, что для полного решения задачи достаточно небольшого числа экспериментальных данных. [c.163] Когда образуются поверхностные волны, как при испытании моделей судов и перемешивании жидкости в открытой емкости, коэффициент сопротивления зависит также от числа Фруда. [c.163] Только что проиллюстрированный метод анализа размерностей на основе дифференциальных уравнений более подробно рассматривается Клинкенбергом и Муи [84] и, по-иному, Шлих-тингом [144]. [c.163] Чтобы расширить задачу по сравнению с рассмотренной ранее, в число определяющих параметров включены скорость звука С и поверхностное натяжение сг. [c.163] Так как М встречается только в размерности д, а Т — только Б размерности и, то, очевидно, никаким подбором значений й, бис нельзя выражение (14. 25) сделать безразмерным. Если к величинам в (14. 25) добавить любую из оставшихся переменных, то, как будет вскоре показано, можно найти значения показателей, при которых получается безразмерное выражение. Поскольку у = 3, I должно быть равно 5, существует пять независимых безразмерных групп Я1, Яз,. . Яд. [c.164] Есть много возможных наборов безразмерных групп, но из того, что нам известно о гидродинамике, представляется желательным, чтобы одна группа отражала влияние вязкости х, одна — влияние силы тяжести g, одна — влияние поверхностного натя-я ения о, одна — эффекты высоких скоростей С и одна — эффекты, связанные с давлением р. Поэтому мы выберем безразмерные комбинации так, чтобы каждая из переменных g, о, С ж р входила только в одну группу. С другой стороны, Ь, и II могут оказывать влияние почти на все процессы, так что их присутствие допустимо в любом комплексе. [c.165] Вернуться к основной статье