ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Некоторые решения уравнений движения из "Гидродинамика, теплообмен и массообмен" 7 мы записали уравнение равновесия конечного цилиндрического элемента жидкости при ламинарном движении в круглой трубе. Это привело к формуле Гагена — Пуазейля. В гл, 11 мы записали уравнения равновесия бесконечно малого элемента жидкости в общем случае, не указывая форму трубы или погруженного в жидкость тела. Результатом такого рассмотрения явились уравнения Навье — Стокса — система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Ввиду математической сложности точные решения этих уравнений найдены только для относительно простых случаев, когда многие члены уравнений можно приравнять нулю. Иногда вся задача сводится к решению одного уравнения вместо системы. Такое упрощение удается провести для ламинарного движения в круглой трубе. Далее в этой главе мы воспользуемся этим, чтобы из уравнений Навье — Стокса получить выражение для параболического распределения скорости. Рассмотрев несколько точных решений уравнений Навье — Стокса, мы будем изучать методг т упрощения этих диф-ференцпальных уравнений, которые позволяют получить их аналитические решения. При этом исключаются члены, которые, хотя и не равны точно нулю, но малы по сравнению с остающимися. Мы будем рассматривать приближения, называемые ползущим течением, потенциальным течением и течением в пограничном слое. [c.107] Исследование, проведенное вначале, привело к уравнению,, которое является не вполне точным, так как полное давление в нижней части канала несколько выше, чем в верхней. Однако для динамического давления градиент в направлении оси у отсутствует, и уравнение (12. 6) является точным. Во многих книгах по гидродинамике уравнения Навье — Стокса записываются через динамическое давление. [c.109] Выведенные выше соотношения можно получить, рассматривая равновесие элемента жидкости, выбранного так, чтобы использовать симметрию течения. Такой вывод составляет содержание задачи 7. 1. В ириведенном выводе тот же результат получен из уравнений Навье — Стокса, причем основное внимание было обраш,ено на некоторые теоретические подробности. [c.110] Практическое применение уравнения (12. 23), называемого уравнением Гагена — Пуазейля, показано в примере 7. 1 и задачах 7. 6—7. 8. [c.112] Эти два уравнения позволяют выразить г пах через и г . [c.112] Профиль скорости, который задается выражением (12. 26), показан на рис. 12. 3. [c.113] Термин ползущее течение используется для описания течений с очень малыми скоростями, или, точнее, при очень малых числах Рейнольдса. Основной интерес к этому типу течения вызывается тем, что такое течение возникает при падении в жидкости мелких частиц. На представлении о ползущем течении основан вывод формулы Стокса, используемой при решении задач отстаивания и осаждения. Ползущее течение встречается также в некоторых задачах теория смазки. [c.113] При числах Рейнольдса, меньших единицы, вязкие силы в потоке преобладают пад пнерционными. [c.113] Рассмотрев случай движения с очень малыми числами Рейнольдса обратимся к противоположному крайнему случаю — к движению при очень больших числах Рейнольдса, когда инерционные силы преобладают над вязкими. Положим в уравнениях Навье — Стокса вязкость равной нулю и получим уравнения двин ения идеальной (или невязкой) жидкости. Эти уравнения называются уравнениями Эйлера. [c.115] Теория идеальной жидкости находит применение в аэродинамике, особенно при вычислении подъемной силы крыловых профилей. Она применяется и в обш ей задаче об обтекании тела, так как при помощи этой теории определяется распределение давления на внешней границе пограничного слоя. Поскольку в этой теории постулируется нулевая вязкость, она приводит к проскальзыванию на поверхности твердого тела. Как уже сказано ранее (гл. 8), в действительности проскальзывание у поверхности отсутствует, и в пограничном слое вблизи поверхности должно учитываться влияние вязкости и сдвиговых деформаций. Тем не менее, для потока вдали от тела предположение об идеальности жидкости часто оказывается применимым. [c.115] Наибольшее применение теория движения идеальной жидкости находит у авиационных инженеров. Она, однако, играет важную роль в изучении гидродинамики инженерами всех специальностей. Дальнейшее изложение ограничивается простым случаем безвихревого или потенциального течения. Это название подразумевает отсутствие в жидкости вращения или завихренности. [c.115] Здесь сила выражена как градиент потенциала. Определим потенциал скорости ф (х, у) по аналогии (ограничиваясь для простоты двумерным течением) так, чтобы скорость равнялась градиенту потенциала. [c.116] Величина, стоящая в левой части уравнения (12. 48), называется вихрем. Как мы убедимся, она равна удвоенной угловой скорости вращения элемента жидкости относительно оси, параллельной оси 2. [c.116] Таким образом, течение, показанное на рис. 12. 4, является вихревым и не удовлетворяет требованию (12. 48), которое предъявляется к потенциальному течению. [c.117] Показанные на рис. 12. 6 линии тока и эквипотенциальные линии (так называемая сетка течения) получены из решения уравнения Лапласа нри граничных условиях, соответствующих заданной форме входа. [c.119] Результаты исследования действительного течепия оказались в хорошем согласии с приведенными теоретическими результатами. Линии равных значений ф (эквипотенциальные линии) и линии равных значений г ) (линии тока) всюду перпендикулярны (ортогональны). [c.119] Мы знаем, что к обычному параллельному течению в трубе постоянного сечения ураннепие Бернулли не применимо. Необходимо добавить в него член hf (потерянная механическая энергия), который возникает из-за вязкого трения (касательных напряжений), например, уравнение (4. 27) при = 0. В этом случае есть градиент скорости в нанравлении радиуса трубы, но нет компенсирующего градиента в другом направлении. Поэтому согласно уравнению (12. 48) течение является вихревым. Мы можем, конечно, провести для этого вихревого течения линии тока. Суп е-ствует и функция тока, поскольку она вводится на основе одного лишь уравнения неразрывности (гл. 8). Однако поскольку течение не является безвихревым, потенциальной функции ф не существует. Вращение, возникающее в результате сдвига, который га1еет место нри ламинарном движении, аналогично вращению карандаша, зажатого между скользящими друг по другу ладонями. Те же замечания относятся и к течению в пограничном слое. [c.119] Рассмотрим теперь ламинарное течение в пограничном слое. При применении к этой задаче уравнений Навье — Стокса некоторые члены в них оказываются пренебрежимо малыми. Это справедливо только при больших числах Рейнольдса, при которых толщина пограничного слоя мала по сравнению с расстоянием от передней кромки. Сделанные предполошония не выполняются нри малых числах Рейнольдса, когда область, в которой существенна вязкость, простирается относительно далеко от границ тела, как, например (если взять крайний случай), при ползущем течении. При высоких числах Рейнольдса находит применение и теория идеальной жидкости. Однако, так как эта теория предполагает наличие проскальзывания жидкости на поверхности тела, получаемые на ее основе результаты не согласуются с истинной картиной течения в слое жидкости вблизи поверхности. В этом слое скорость жидкости изменяется вплоть до значения, равного нулю на самой поверхности, и пренебрегать здесь вязкостью нельзя. Напомним, что, как сказано в гл. 8, это несоответствие с истинной физической картиной особенно сильно сказывается при вычислении силы сопротивления, для которой теория идеальной жидкости обычно дает ошибочные результаты. [c.120] Так как известно из решения задачи для невязкого потенциального течения и, кроме того, известно, что их = Пу = О при у = О м. Пх = Щ при у д, то этих двух уравнений достаточно, чтобы найти два неизвестных их и иу. [c.121] Вернуться к основной статье