ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Принципы решения матричных уравнений из "Проблемы гидрогеоэкологии Том 1" В заключение остановимся на анализе методов решения матричных уравнений, отвечающих упомянутым вьппе сеточным аппроксимациям — в рамках не только МКР, но и МКЭ. [c.370] Для решения системы матричных уравнений используются прямой метод исключения Гаусса или итеративные процедуры, в частности, типа неявного метода переменных направлений, широко применяемого в фильтрационных расчетах. Этот вариант блочных итерационных методов особенно эффективен при криволинейной координатной сетке (см. ниже), поскольку в противном случае велика роль диагональных составляющих переноса. Чем больше число узлов, тем относительно эффективнее итерационные методы [13] — ввиду все возрастающих требований к оперативной памяти в прямых методах. Например, доея МКЭ при числе узлов 100х1(Ю требуется 16 мегабайт только для хранения коэффициентов ленточной матрицы. Кстати, в этом смысле, падает и эффективность МКЭ (в сравнении с МКР), поскольку он требует многочисленных предварительных операций с матрицами для приспособления к оптимальным итерационным процедурам (блочным итерационным методам). [c.370] Методы симметризации матриц, эффективные в фильтрационных задачах, оказываются непригодными из-за наличия конвективного члена в общем случае матрицы эти — не положительно определенные и к ним неприменимы известные ускоряющие процедуры. Поэтому решение может оказаться несходя-щимся — при матрицах, не имеющих должного диагонального преобладания (необходимого для успешного применения блочных итерационных методов). В частности, в работе [13 ] показано, что для МКЭ метод сверхрелаксации непригоден, а лучшие результаты дает метод слабой релаксации. [c.371] Развитие принципов расщепления разностного оператора на уравнения массопереноса (а также, при необходимости, и на граничные условия) приводит к методу главных направлений [12 ], причем в общем случае он может сочетаться с криволинейной координатной сеткой, учитывающей направление фильтрационного потока. Очевидным преимуществом этого метода является разомкнутость системы уравнений по направлениям, чем, в частности, устраняется доминирование — в смысле интенсивности переноса — одного направления над другим, т.е. доминирование одних членов над другими в рамках одной матрицы. Ошибки округления при решении матричных уравнений резко снижаются из-за уменьшения размеров матриц. [c.371] В конечном итоге метод главныж направлений, давая значительный выигрыш по времени счета, обеспечивает высокую точность Прогноза как для фронта переноса, так и ДЛЯ дисперсионной компоненты (в частности, поперечной дисперсии). Это делает его особенно эффективным для расчета сильно вытянутых, в том числе и трехмерных, ореолов в стационарном фильтрационном потоке при резких контрастах параметров в продольном и поперечном направлениях. Нужно, однако, помнить, что само расщепление разностного оператора вносит те или иные погрешности и нуждается в специальных поверочных тестах. [c.372] В целом, эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми растет с увеличением числа узлов считается, что при достаточно больших сетках — порядка первых тысяч узлов для двумерных задач и нескольких сотен для трехмерных — они уже оказываются предпочтительными. При этом среди итерационных методов также существует своя иерархия предпочтений, которая в последнее время ставит на первое место — в решении задач на больших сетках — метод сопряженных градиентов. В отличие от таких широко используемых итерационных методов, как SOR (метод верхней релаксации) или SIP ( сильно неявная процедура ), этот метод He требует диагонального преобладания для матриц, мало чувствителен к направленной, регулярно ориентированной неоднородности, не требует эмпирического подбора счетных параметров и является, в конечном итоге, наиболее универсальным, сравнительно мало зависящим от характера конкретной задачи. Именно методом сопряженных градиентов и решаются сейчас, как правило, наиболее трудоемкие задачи — на сетках во многие тысячи—десятки тысяч узлов. [c.372] Вернуться к основной статье