ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Постановка линейных задач гидродинамической устойчивости из "Возникновение турбулентности в пристенных течениях" Несмотря на то что линеаризованные уравнения движения справедливы лишь для малых возмущений, они важны для выяснения физических механизмов усиления конечных возмущений несжимаемой ньютоновской жидкости. [c.22] Эти уравнения вместе с граничными и начальными условиями дают полное описание эволюции произвольного бесконечно малого (линейного) возмущения в пространстве и во времени. Граничными условиями являются исчезновение V на неподвижных твердых поверхностях, а для внешних течений ограниченность V на бесконечности. В последнем случае условие исчезновения возмущений на бесконечности гарантирует, что течение релаксирует к невозмущенному состоянию во внешнем потоке, а значит, рассмотрение ограничивается только возмущениями сдвигового слоя. Ситуации, когда возмущение не исчезает на бесконечности, но ограничено, т.е. вынужденные возмущения свободного потока, будут рассмотрены в п. 1.7. [c.26] Проводимое разложение эквивалентно переходу из физического пространства в спектральное пространство частот и волновых чисел. Рассматриваемые решения представляют собой собственные (свободные или не вынужденные) гидродинамические волны, быстро осциллирующие по д и 2 на масштабе локальной параллельности Ь А, где Я — длина волны возмущения с амплитудами, мало изменяющимися на этой длине волны. Отметим, что при такой редукции начально-краевой задачи необходимо проверять полноту получаемой системы волн, поскольку не исключено, что часть элементарных решений может иметь другой вид (см. п. 1.7). [c.27] Если получаемые таким способом элементарные решения образуют полную систему то эволюцию во времени любого возмущения, возникшего в момент времени 1 = О, можно проследить, рассматривая его разложение по элементарным волновым решениям. Отметим, что в результате решения (1.28) получается только абсолютная величина временного множителя е , но не его фаза, которая зависит от начальных условий. Таким образом, изучаемое возмущение не определяется однозначно стационарными краевыми условиями. А поскольку стационарное движение полностью задано ими, можно сказать, что возмущение обладает дополнительной степенью свободы [Ландау, Лифшиц, 1986]. [c.30] Понятие устойчивости во времени в спектральной задаче определяется следующим образом. Если найдутся такие комплексные собственные значения ш = 1о), характеристического уравнения (1.28), что со, О при некоторых вещественных и /б, то невозмущенное состояние (линейно) неустойчиво. Если же а , О для любых а и /б, то оно считается устойчивым. В том случае, когда а . = О, обычно полагают, что система нейтрально устойчивая. Нейтральное возмущение может быть двух типов если = О, то оно стационарно и выполняется принцип смены устойчивостей если О, то оно периодическое во времени и представляет собой бегущую волну. [c.30] Уравнение ш.(а, /3, Яе) = О параметрически определяет в пространстве а, Р, Яе) поверхность, отделяющую область параметров, при которых течение устойчиво, от области неустойчивости и называемую границей или поверхностью нейтральной устойчивости. Минимальное для всех частот число Рейнольдса Яе , при котором может возникнуть неустойчивость, называют (первым) критическим числом Рейнольдса спектральной задачи. Нахождение нейтральных поверхностей и критических чисел Рейнольдса является одной из основных задач теории гидродинамической устойчивости, так как этим определяются области параметров, при которых основное ламинарное течение устойчиво или неустойчиво по отношению к малым возмущениям . [c.30] Первое из этих уравнений выполнимо, только если волны затухают, т.е. со, О, а из второго следует непосредственно, что скорость распространения волн завихренности лежит между минимальной и максимальной скоростями течения. Поэтому, как и в двумерном случае, для ответа на вопрос об устойчивости течения можно ограничиться уравнением Орра — Зоммерфельда и решать уравнение нормальной завихренности, только если необходимо знать распределение поперечной компоненты скорости или нормальной завихренности в волне или волновом пакете . [c.31] что в случае вещественных а а Р трехмерные волны имеют меньшие эффективные числа Рейнольдса по сравнению с идентичными двумерными, причем при W = О задача определения границы линейной устойчивости трехмерных возмущений сводится к двумерной для того же профиля, но при меньшем числе Рейнольдса Rej. Это утверждение составляет теорему Сквайра [Squire, 1933], согласно которой в двумерном пограничном слое с вещественными волновыми чиспами двумерные возмущения нормальной скорости теряют устойчивость при меньших числах Рейнольдса, чем трехмерные той же частоты. Более того, если со = со(к, Р = О, R j) определена для заданного профиля i/(3 ), то ш = а ( , р. Re) получается непосредственно из уравнений (1.32) —(1.35). [c.33] Физически это означает, что на энергию возмущения влияет только компонента скорости среднего течения, отвечающая направлению распространения фронта наклонной волны. Поскольку в рамках данного подхода двумерные возмущения будут терять устойчивость заведомо при меньших числах Рейнольдса, для нахождения Re можно рассмотреть лишь двумерные волны, а вместо поверхности нейтральной устойчивости ограничиться нейтральной кривой в плоскости (а, Re ), образованной значениями со.(а, /3 = 0, Re) = О для двумер -ной задачи. [c.33] Наконец, для решения задачи начальных значений, например при исследовании развития волновых пакетов и возмущений конечной амплитуды, решение линейной задачи является лишь отправной точкой, когда необходимо нахождение не только собственных значений, но и собственных функций 5, которые для прямых и наклонных волн различны. Более того, в этой ситуации попытка свести задачу только к поиску собственных значений и собственных функций и физически не оправдана, поскольку операторы Орра — Зоммерфельда и Сквайра, как правило, несамосопряженные и соответствующие им собственные функции, как следствие, неортогональные. В этом случае, чтобы описать развитие во времени произвольного возмущения, удовлетворяющего граничным условиям, заданной формы в начальный мрмент времени, нужно найти полную систему волн, составляющих исходное возмущение, и решить начальную задачу. Более подробно мы рассмотрим сложности, возникающие на этом пути, в п. 1.8. [c.34] Вернуться к основной статье