ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Связь целевых функций с потенциалом движения по сфере. Механическая интерпретация однолокусных генетических процессов как движения в силовом поле из "Основы математической генетики" в правой части уравнений динамики (12.8) фигурирует координата условного градиента потенциала (х). [c.441] Соответственно, гиперповерхность потенциала, определяющую поведение траекторий, следует рассматривать над фазовым пространством, которым является часть гиперсферы. [c.441] Однако при анализе динамики генных частот уравнения движения отличаются от (12.6), поскольку траектории должны принадлежать поверхности гиперсферы единичного радиуса. Отсюда в уравнения динамики, помимо активных сил, которые можно разложить на касательную и нормальную (к сфере) составляюш ие, должны входить силы реакции. Для того чтобы точка не покинула поверхность, необходима нейтрализация силами реакции нормальной составляющ ей активных сил. Кроме того, силы реакции не позволяют точке сорваться с поверхности под действием центробежных сил. Поскольку скорость точки известна из (12.8), эта составляющ ая сил реакции совпадает с центростремительной силой, т. е. равна, как известно, на сфере единичного радиуса в точке X значению — У х, где квадрат скорости определяется как (У°, У°), а V находится но формуле (12.9). Повороты траектории, принадлежащ ей сфере, определяются проекцией активных сип на касательную к сфере плоскость. Поэтому можно сказать, что если задано силовое поле, то при условии движения материальной точки по гиперсфере вместо полных активных сил (определяемых полем) в уравнения движения должны входить лишь их касательная (к сфере) составляюш ая и центростремительная составляющ ая сил реакции связи (которая в нашем случае, в отличие от уравнений механики, легко определяется из (12.8)). [c.442] Таким образом, доказана справедливость формулы (12.13), определяющей движение по поверхности гиперсферы единичного радиуса под действием потенциальных сил с потенциалом С/с = — Т - два первых члена (12.13) представляют собой проекцию активных сил на касательную к гиперсфере плоскость, а последний член равен центростремительной составляющей сил реакции связи. Поэтому для изучения систем (12.11) и (12.13) можно использовать весь арсенал средств классической механики. [c.444] Как и во всяком механическом движении, удовлетворяющем вариационным принципам, результаты этого параграфа можно переформулировать в терминах движения в римановом пространстве по кратчайшим траекториям — аналогам прямых в обычном евклидовом пространстве. Пример такого пространства содержится в 4.11, где анализируется частный случай функции G, соответствующий простейшей форме отбора с постоянными коэффициентами приспособленностей генотипов. [c.446] Свойство траектории быть экстремалью не зависит от выбранной системы координат. Поэтому несложно переписать уравнения Эйлера в обычных координатах — концентрациях аллелей — с помощью функции Лагранжа в них. [c.446] Напомним, что функция G (и, следовательно, Q) определяется как для каждого микроэволюционного фактора в отдельности (различных форм отбора, быть может, в сочетании с инбридингом, давления нескольких типов миграций и мутаций), так и для совместного действия их произвольной комбинации. При этом привлекательной чертой анализа последней ситуации является простота отыскания потенциальной функции, глобально характеризующей динамику модели она равна простой сумме потенциалов для факторов, входящих в рассматриваемую комбинацию. Соответственно легко выписываются силовая функция и лагранжиан механического аналога генетического процесса. [c.446] Вернуться к основной статье