ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Уравнения состояния для системы пассивного теплообмена из "Теория управления и биосистемы Анализ сохранительных свойств" Представим ткани тела в виде трехслойной структуры (кожа, мышцы и ядро) с температурами Xi, Х2, Хз, соответственно (рис. 5.6). Источники тепла расположены в ядре (темп притока тепла шз определяется интенсивностью обмена веществ) и в мышцах (темп притока тепла W2 зависит от интенсивности мышечной работы). Потоки тепла от ядра к мышцам, от мышц к коже и от кожи в окружающую среду определяются величиной перепада температур [хз — Хг), (Х2 — Xi) и [х — ui), соответственно, где U1 — температура окружающей среды. Процессы теплообмена в организме определяются двумя видами механизмов. Это прежде всего пассивные механизмы, которые зависят от температурных перепадов между слоями тела и от коэффициентов теплопроводности кз, ка и теплопередачи к. На них наложены активные терморегуляционные механизмы, которые реализуются, с одной стороны, через изменение переменных и з, W2 и теплопотерь с испарением Wi, а с другой стороны — через изменение коэффициентов кг, к (сосудистые реакции). [c.150] Переход от одного способа описания к другому производится с помощью блочных матриц. [c.152] Вид матриц В и R в (5.81) ясен из (5 80). Ниже в этом примере мы будем исходить из более простого описания системы (5 78) — (5.79). [c.152] Таким образом, мы сформировали вектор выхода у = = [У1 У2 Уг У4 Уъ УвУ, включив в него переменные, которые, по нашему мнению, могут интересовать исследователя. Если бы мы ошиблись и не рассмотрели еще каких-либо характеристик системы, вектор выхода можно было бы расширить и дальше. [c.153] Обратите внимание на то, как легко получаются элементы матриц С и D из коэффициентов исходных уравнений —это просто коэффициенты при соответствующих переменных в алгебраических уравнениях (5.82) — (5.85). [c.154] Исследуем теперь уравнения состояния (5.78), рассмотрев вопросы устойчивости и существования стационарного режима, управляемости и наблюдаемости системы, а также чувствительность переменных состояния системы в стационарном режиме. [c.154] Устойчивость. Мы уже говорили, что исследование устойчивости для моделей естественных биосистем является вспомогательной задачей, помогающей оценить, насколько хорошо модель воспроизводит объект (устойчивость реального биологического объекта, естественно, сомнений не вызывает). В сложных системах, исследование которых производится на вычислительных машинах, устойчивость проверяется, как правило, в процессе отладки программы. Имеются и машинные процедуры для непосредственного получения собственных значений матриц, описывающих системы. В простых случаях возможно исследование устойчивости классическими методами (например, по упоминавшемуся выше к )итерию Рауса — Гурвица [46]). Для наших целей сейчас достаточно убедиться, что система пассивного теплообмена является устойчивой при относительно широком изменении численных значений элементов матрицы А в (5.78). Покажем, например, что система устойчива при k = k% = къ = = Т, = Т2 = 7 з=1. [c.154] Стационарный режим системы. Поскольку система устойчива, имеет смысл говорить об исследовании стационарного режима х = —A Bv согласно (5.50). [c.155] Имея в явном виде вектор состояния х, можно по матрице наблюдений состояния системы С(бхз и матрице наблюдений входов 1)(бх1) (5.87) получить стационарное значение выхода системы (5.86). Предоставим выполнение этой операции читателю. [c.155] Наблюдаемость и управляемость. Имея явное решение уравнений системы в виде (5.91) для стационарного режима, нет смысла проводить исследование управляемости по методам, описанным в разд. 5.7. Действительно, из выражения (5.91) очевидно, что каждая переменная состояния явно зависит от всех входов, так что каждая переменная состояния управляема, и поэтому система полностью управляема. [c.156] Наблюдаемость системы в данном случае зависела от нас. Выбором достаточного числа выходов, т. е. заданием матрицы С(бхз) в (5.87) мы достигли того, что переменные выхода зависят от всех переменных состояния. Тем самым все переменные состояния представлены на выходе, и система полностью наблюдаема. При желании, однако, можно убедиться и в выполнении условий наблюдаемости, вычислив ранг матрицы (5.73) подобно тому, как мы определили ранг матрицы (5.72). [c.157] В этом примере набор выходных переменных мы выбирали сами. На практике, однако, дело часто обстоит иначе. Вектор выходов не задается исследователем, как это было в рассмотренном случае, а определяется возможностями его экспериментальной установки, например, наличием регистрирующей или измерительной аппаратуры. Пусть, в частности, исследователя интересует измерение всех переменных состояния, а имеется возможность регистрации только одной температуры кожи Х[. Выясним, наблюдаема ли система в этом случае. [c.157] Это означает, что, регистрируя процесс изменения во времени температуры кожи, исследователь может в пределах выбранной модели определить также и текущие значения температуры мыщц и ядра. [c.158] Вернуться к основной статье