ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Векторы и матрицы из "Теория управления и биосистемы Анализ сохранительных свойств" Для линейных систем, однако, использование матричных методов описания позволяет проводить исследование практически одинаково компактно вне зависимости от количества переменных в системе. Считается, что аппарат матриц дает возможность более просто представлять различные математические и физтеские операции с помощью операций над элементами матриц. [c.124] Такая таблица, имеющая, как и исходное уравнение, т строк, составленных из коэффициентов а,/, называется матрицей. Коэффициенты исходного уравнения составляют ее столбцы, которых в данном случае тоже т. Матрица (5.2) иногда обозначается символом [а,/]. [c.125] Поэтому мы рассмотрим терминологию, принятую в теории матриц, и усвоим некоторые элементарные навыки обращения с векторами и матрицами, чтобы читатель, ранее не сталкивавшийся с матрицами и векторами, мог понимать матричные обозначения, а при необходимости и самостоятельно продвигаться дальше (в этом случае, например, можно рекомендовать читателю книгу [66]). [c.125] Читатель, знакомый с матрицами, может вполне пропустить этот раздел и продолжить чтение с разд. 5.2. [c.125] Матрицей называется прямоугольная таблица, элементами которой могут быть числа или функции. Элементы матрицы обозначаются при помощи двойного индекса первый индекс обозначает номер строки, второй — столбца. Так, элемент Озг стоит в матрице на пересечении третьей строки и второго столбца. Если матрица имеет всего один столбец, она называется вектором, или вектором-столбцом. [c.125] Поскольку вектор имеет всего один столбец, индекс у его элементов одинарный, и обозначает он номер строки. [c.125] Матрица А, имеющая т строк и п столбцов, называется (тХ )-матрицей или матрицей размерности (или порядка) т на п. В этом случае иногда пишут А тхп)- Вектор (5.3) является матрицей размерности три на один и(зх1) о векторе говорят — вектор размерности 3. [c.125] Если оба размера матрицы совпадают, то матрица (лхп) называется квадратной. Квадратная матрица имеет диагональ, состоящую из элементов ац, аг2,. .., апп. Если все элементы, кроме диагональных, равны нулю, матрица называется диагональной. [c.125] Если в матрице А все столбцы поменять местами со строками, то такая матрица называется транспонированной и обозначается Л . [c.126] Для исследования сложных систем приходится обращаться с векторами и матрицами примерно так же, как при исследовании простых систем мы оперируем с переменными и коэффициентами. Рассмотрим поэтому простейшие действия с матрицами. [c.126] Две матрицы одной размерности называются равными, если их соответствующие элементы одинаковы, т. е. [c.127] Произведение матриц обозначается следующим образом С = АВ. Умножать можно матрицы, у которых внутренний размер совпадает. Так, если имеем А тхпь -8(лх ). то внутренний размер этой пары есть п, и можно выполнить операцию умножения. Элементы матрицы произведения С при этом получаются посредством перемножения и суммирования элементов исходных матриц, а именно для получения элемента с номером ( , /) надо по очереди перемножить пары элементов 1-й строки матрицы А и /-Г0 столбца матрицы В (первый с первым, второй со вторым и т. д.), а затем просуммировать их. [c.127] Легко видеть, что при умножении матриц их нельзя менять местами (операция умножения матриц некоммутативна). Для матриц А(тхп) и В(пхт) существуют как произведение АВ, так и произведение ВА, но размерность получающейся матрицы будет т Х.т) в первом случае и (м X )—во втором. В этом случае говорят, что матрица А умножается на В справа и слева, соответственно. Даже для квадратных матриц, вообще говоря, АВ ф ВА. [c.128] Матрица Л у имеет размерность (2 X 1). т. е. является вектором. [c.128] При умножении матрицы произвольной размерности на скалярный (не векторный) множитель к каждый элемент матрицы умножается на величину к. [c.128] Определитель удобно раскладывать по тем строкам или столбцам, где имеется много нулевых элементов. Существуют и другие способы вычисления определителей, на которых мы не останавливаемся (см., например, [66]). [c.130] Обратите внимание на порядок следования индексов в формуле — матрица [С/,] является транспонированной для матрицы, составленной из Сц. [c.130] Если квадратная матрица Л имеет определитель с1е1 Л, не рав-I ный нулю, то для нее можно построить обратную матрицу. [c.130] Умножение на обратную матрицу аналогично операции деления обычных чисел, или скаляров как нельзя делить на нуль, так нельзя построить обратную матрицу для матрицы, у которой определитель равен нулю. [c.130] Матрица Л, у которой ёе Л = О, называется особенной. Обратная матрица существует для всех неособенных матриц. [c.130] Вернуться к основной статье