ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Устойчивость из "Теория управления и биосистемы Анализ сохранительных свойств" Передача сигнала в системе в направлении от входа к выходу называется прямой связью. Обратной связью называется любая передача сигналов в обратном направлении, т. е. от выхода системы к входу (рис. 3.6, а). В сложных системах может возникнуть ситуация, когда та или иная связь между двумя переменными может трактоваться как прямая (идущая в направлении от входа к выходу) или обратная (рис. 3.6,6). Это зависит от того, влияние какого входа на какой выход или на какую внутреннюю переменную рассматривается. Поэтому при исследовании сложных систем, имеющих множество входов и выходов, такие термины, как положительная или отрицательная обратная связь, обычно не употребляются. [c.80] Пример 3.4.1. Типичным примером отрицательной обратной связи параметрического типа в организме является изменение одного из наиболее существенных параметров системы кровообращения, сопротивления сосудов, при изменении кислородного режима тканей. [c.81] Рассмотрим процессы поступления и утилизации кислорода в ткани. Темп потребления кислорода Юг будем считать заданным и равным ш. Темп поступления кислорода 9О2 в клетки в первом приближении определяется следующими двумя факторами градиентом напряжения кислорода = рО между тканями и артериальной кровью и количеством крови Q, протекающим через сосуды тканей. Количество крови Q зависит в свою очередь от параметров системы — величины артериального давления Р и сосудистого сопротивления R, величину которого можно связать с количеством кислорода в тканях XI [306] некоторой функцией / (Х ). Взаимодействие перечисленных выше переменных и параметров может быть представлено схемой на рис. 3.8, а. [c.82] Основной контур отрицательной обратной связи (обычный контур пассивной регуляции) показан в верхней части рисунка. Нижний контур представляет собой параметрическую отрицательную обратную связь. [c.82] Рассмотрение примера можно продолжить и дальше. Аппроксимируем функциональную зависимость Л(х1) линейной функцией Р = аЬх и проиллюстрируем влияние отрицательной параметрической связи на гомеостатические свойства системы. [c.82] Однако наибольшее распространение при моделировании биологических систем получила отрицательная обратная связь по отклонению от уставки (рис. 3.9,а). [c.83] Задающий входной сигнал ау сравнивается с выходом системы у, сигнал 8 = да — у называется сигналом ошибки или рассогласованием. Сигнал рассогласования поступает на вход регулятора, который вырабатывает управляющий сигнал и. Управление и поступает на вход объекта. На объект действует и внешний возмущающий сигнал V. [c.83] Пример 3.4.2. Представим в виде схемы с отрицательной обратной связью механизм пассивного регулируюш,его действия концентрации кислорода в тканях некоторого органа на темп притока (рис. 3.9,6), с которым мы столкнулись в примере 3.2.1. [c.83] Принцип обратной связи получил чрезвычайно широкое распространение при методологическом [1, 43, 112, 128, 137, 156] и математическом описании биологических систем и явлений на всех уровнях организации жизни и в свое время был признан ведущим принципом саморегуляции и самоуправления в живой природе [5, 33, 122, 154, 159, 226, 320]. Почти во всех случаях применение идеи обратной связи проходило через этап использования простейшей одноконтурной модели отрицательной обратной связи по отклонению от уставки. Так, на организменном уровне этот принцип 61 использован для моделирования практически всех сколько-нибудь важных систем — дыхания [60, 301 и др.], кровообращения [6, 83, 105, 107, 157, 214, 355, 367 и др.], терморегуляции [74, 79, 84, 309, 361, 362 и др.], водно-солевого обмена [305, 330 и др.], энергообразования [63, 243 и др.], системы сахара крови [13, 70, 225, 261]. Этим же принципом руководствуются при рассмотрении процессов старения [118, 227], лечения заболеваний [14, 155, 183, 199, 262] и при разработке систем управления искусственными органами (см., например, [35, 50, 113, 252, 311]). Принцип обратной связи был использован и для объяснения протекания эволюционного процесса [54, 242, 248], хотя, насколько известно автору, математических моделей в форме простой отрицательной обратной связи разработано не было. Математический анализ эволюционного процесса пошел по другому пути (см., например, [170, 186а, 255]). [c.84] Возвращаясь к вопросу о формах обратной связи и их использовании в моделях биологических процессов и явлений, нельзя не отметить, что многие критические замечания в адрес математических методов исследования сложных явлений в живых системах по существу относились, да и относятся не столько к принципиальным вопросам возможности и необходимости использования этих методов, сколько к конкретным формам их проявления, и прежде всего к использованию излишне упрощенных способов описания сложных форм организации живой природы — таких, как простейшая модель отрицательной обратной связи по отклонению от уставки. [c.84] В теории управления исследование устойчивости относится к следующей ситуации. Сначала на систему действует некоторое возмущение, нарушающее равновесие в ней. Затем это возмущение снимается, перестает действовать. Однако в системе уже возникло некоторое неравновесное состояние. Это состояние представляет собой начальные условия для свободного движе-ния системы — процесса регулирования. Если после достаточно малого возмущения в системе восстанавливается тот же режим, который поддерживался в системе до начала действия возмущения, процесс называется сходящимся или устойчивым, в противном случае — неустойчивым. [c.85] Строгое определение устойчивости дается обычно следующим образом. [c.85] Это означает, что решения, близкие по своим начальным значениям, остаются близкими и в дальнейшем. [c.85] В популярном изложении иногда говорят, что устойчивые процессы, не обладающие, однако, свойством асимптотической устойчивости, находятся на грани устойчивости [179]. [c.85] Для нелинейных систем устойчивость поведения — понятие более сложное. Движения в нелинейной системе могут быть устойчивыми в одной области изменения переменных и неустойчивыми— в другой. Поэтому для нелинейного случая рассматривают не устойчивость системы, а устойчивость движений или траекторий. [c.86] Удобным способом наглядного изображения движений является метод фазового пространства. Описание этого способа на примерах простых биосистем имеется в работе [179]. Суть метода заключается в следующем. Рассматривается пространство, координатами в котором являются фазовые переменные системы Х, Х2, Хт в соответствии с приведенным в разд. 3.2 определением. Задание текущих величин фазовых координат определяет в этом пространстве некоторую точку Р — изображающую точку. При изменении фазовых координат во времени изображающая точка описывает в фазовом пространстве траекторию, по виду которой моэ4но судить о свойствах системы. Наиболее удобен этот метод для исследования систем второго порядка, когда фазовых координат всего две, и фазовое пространство превращается в фазовую плоскость. Рассмотрим этот случай подробнее. [c.86] Для исследования системы методом фазовой плоскости надо построить графическую зависимость, связывающую переменные х и Х2. Найдем связь между Х и Х2 следующим образом. Умножим первое слагаемое (3.28) на лгг, а второе — на равное ему. Г. [c.86] Это — уравнение эллипса. Ряд решений при различных значениях с, соответствующих разным начальным значениям х и х%, показан на рис. 3.10. Совокупность траекторий в плоскости (лгь лгг) образует фазовый портрет системы. [c.87] Время служит параметром при движении вдоль траектории рост времени соответствует движению по часовой стрелке 3 2 1- Это ясно из того, что при лг2 О (т. е. при 0) величина х должна возрастать. [c.87] Аналогично можно построить фазовые портреты для системы (3.27) и при произвольных I и со. В зависимости от знака и величины и со в линейных системах существует несколько типов особых точек, по характеру фазового портрета можно судить об устойчивости системы — эти данные можно представить в виде табл. 3.1. [c.87] Вернуться к основной статье