ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Асимптотические решения в квантовой теории лазера из "Квазистационарные распределения в кинетике" Выше было показано, что СР в передемпфированных системах проявляется в виде аномальной зависимости восприимчивости бистабильной системы на малое внешнее поле от интенсивности шума. В данном разделе будет рассмотрен противоположный предельный случай малых коэффициентов трения, при которых уравнение движения параметра порядка имеет вид (4.3). Будет найдена восприимчивость бистабильной системы и предсказан эффект СР при малых диссипациях. [c.191] Граничное условие в точке 8=0 очевидно. Второе граничное условие соответствует поглощающей границе в точке 8=82 и справедливо до тех пор, пока можно пренебречь обратными процессами переходов из левой потенциальной ямы в правую. Прямые и обратные процессы сравниваются между собой в состоянии равновесия, поэтому при рассмотрении неравновесных состяний бистабильной системы это условие вполне приемлемо. [c.193] Несложные вычисления показывают, что вблизи дна правой потенциальной ямы X = Х2. [c.193] Первый член в формуле (4.76) совпадает с восприимчивостью нешумящей бистабильной системы. Воздействие шума на бистабильную систему описывается вторым членом в формуле (4.76). На рис. 4.4 представлена характерная зависимость восприимчивости системы от интенсивности шума, максимум восприимчивости реализуется при е А. [c.195] Левое неравенство (4.77) определяет моменты времени, начиная с которых формируется долгоживущая асимптотическая по времени стадия релаксации. Правое неравенство (4.77) исключает рассмотрение процесса релаксации для т порядка или больше времени установления равновесия и обосновывает приближение поглощающей границы в точке S=S2. В силу выбранного в работе начального условия кинетика параметра порядка исслбдована для правой потенциальной ямы. Рассмотрение случая левой потенциальной ямы тривиально и заключается в простой замене h на (-h). Влияние движения параметра порядка в одной яме на движение в другой следует учитывать для состояний системы, близких к равновесию, что является малоинтересным. [c.196] Окончательные результаты раздела получены для е 1, что дает возможность использовать метод перевала для расчета полученных интегралов. Поэтому переход к пределу Ео- 0 в формуле (4.76) является неправомерным. В случае интенсивностей шума порядка высоты потенциального барьера вычисления следует проводить на основе формулы (4.74), которая также справедлива для бистабильных потенциалов произвольного вида. [c.196] В данном разделе развитые методы анализа уравнения Фоккера-Планка применяются к исследованию конкретного неравновесного фазового перехода, обусловленного действием шума в лазере. Переход через порог лазерной генерации является одним из наиболее интересных явлений в квантовой оптике. Ниже исследуются статистические свойства лазерного излучения, будет найдена корреляционная функция флуктуаций интенсивности излучения и ее ширина спектра. Найденные результаты при всех значениях параметра накачки дают аналитическое описание даже в тех случаях, когда приходится прибегать либо к приближенным, либо к численным методам анализа /37, 38/. [c.196] Отметим, что масштабные множители 1ш и Ьш могут быть получены экспериментально путем измерения числа фотонов в резонаторе и ширины линии флуктуаций интенсивности вблизи порога /25/. Эволюция лазерного излучения зависит таким образом только от параметра накачки сг, входящего в коэффициент а. При а 1 уравнение (4.80 позволяет получить приближенные аналитические решения /39/. Это уравнение решалось также численно /28/ для произвольных значений параметра а. Сравнение расчетов с экспериментом проводилось в работах /29, 30/. [c.198] В рамках квазиклассического подхода уравнение (4.80) является исходным для исследования как равновесных характеристик лазерного излучения, так и переходных процессов. В частности, на основе (4.80) можно проанализировать корреляционные свойстве, излучения, играющие важную роль в статистике фотоотсчетов /25/ Вычислим эффективную ширину линии флуктуаций интенсивности, которая определяет время корреляции поля. [c.198] Малые отклонения Це от Цо1 экспериментально подтверждаются в работе /40/. [c.200] Эта формула обладает правильной асимптотикой при а 1, а на пороге генерации дает Це(0)= 5,80. [c.202] Так как Це(а) имеет минимум около порога генерации, то второе слагаемое может давать существенный вклад в дисперсию именно около пороговой области. Формула (4.89) позволяет оценить доверительный интервал Т времени наблюдения, при котором измерение поля лазера с помощью фотоотсчетов не приводит к большой ошибке. [c.202] В настоящем параграфе исследована временная эволюция лазерного излучения на основе уравнения для матрицы плотности, полученного в работе Скалли и Лэмба /25/. При построении модели возникновения лазерного излучения были сделаны следующие предположения. Пусть атомы активной среды представляют собой двухуровневую систему, резонансным образом взаимодействующую с одной полевой модой. Активная лазерная среда сохраняется путем пропускания через резонатор атомов как в возбужденном, так и в основном состояниях. Атомы среды взаимодействуют между собой только через поле и имеют одинаковую направленную скорость движения. Время прохода атомов через резонатор полагается большим по сравнению с временем жизни атома, но малым по отношению к характерному времени изменения поля излучения. При сделанных предположениях оказалось возможным расцепить уравнения для диагональных и недиагональных элементов матрицы плотности и решить их по отдельности. Данные уравнения аналогичны системе управляющих уравнений, для которых асимптотические по времени решения были построены в первой главе. С их помощью удалось проанализировать эволюцию статистики фотонов от начального, вакуумного состояния до равновесного, определить ширину линии генерации и найти характерное время переходного процесса. [c.203] Таким образом вблизи порога генерации справедливы результаты, полученные в предьщущем параграфе на основе квазиклассической теории. [c.204] По формулам (4.94)-(4.96) были найдены функции распределения, соответствующие различным N или моментам времени ты. Для типичных в случае газового лазера значений А=10 с , В=2,2103с , С=910 с результаты вычислений показаны на рис. 4.5. Неравновесные функции распределения отображают динамику формирования равновесной статистики фотонов и хорошо согласуются при тех же значениях А, В и С с результатами /25/ численного моделирования исходной системы уравнений (4.90). Время, за которое устанавливается равновесная функция распределения, также согласуется с /25/, Для его оценки можно пользоваться выражением . [c.205] Формула (4.105) в точности совпадает с полученным в /25/ результатом для ширины линии генерации. Отметим, что уравнения (4.97) получены в четвертом порядке теории возмущений и справедливы дл Не очень больших интенсивностей поля излучения или для коэффициентов усиления незначительно превышающих потери (А С). [c.208] Вернуться к основной статье