ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Многомерные уравнения Фоккера-Планка из "Квазистационарные распределения в кинетике" В настоящее время общие методы анализа уравнения (1.68) развиты недостаточно и построить гриновскую функцию удается лишь для узкого класса уравнений. Отметим, что (1.68) нельзя привести к каноническому виду в случае размерности N 3. Более того, существует даже проблема определения стационарного решения р, если оно не является очевидным из физических соображений. Таким образом проблема интегрирования многомерного уравнения ФП крайне трудна и до сих пор далека от своего полного разрешения. Однако все же некоторые подходы, облегчающие ее анализ, наметить удается. [c.54] Например, для уравнения Крамерса (1.15) в состоянии равновесия формируется максвелл-больцмановская функция распределения, которая не обращает в нуль компоненты вектора потока. Легко проверить, что в этом случае Ь = ур и К = -11 р. Из физических соображений понятно, что система может совершать колебательные движения вблизи дна потенциальной ямы. Поэтому при рассмотрении соответствующей краевой задачи здесь могут присутствовать комплексные СЗ. В общем случае нахождение решения (1.70) представляет собой сложную математическую проблему. [c.55] Подставляя сюда выражение (1.76) для вектора потока, приходим к равенству смешанных производных второго порядка от функции Ф, т.е. условие (1.74) ничего нового не дает, так как именно в этих предположениях ищется решение исходного уравнения (1.69). [c.57] В общем случае Ву могут зависить от х, поэтому условие (1.78) является достаточно жестким, так как положительность квадратичной формы может нарушиться при переходе от одной области изменения переменных к другой. [c.57] Условие (1.85) выполняется, например, для F=F(V). [c.60] Таким образом решение уравнения ФП в виде (181) имеет место не для любых коэффициентов Ai(x), а только для тех, которые подчиняются условиям (1.84) и (1.85). Очевидно, что в этом случае можно указать также итерационную схему построения СЗ и СФ краевой задачи, эквивалентной уравнению ФП. Она вполне аналогична схеме построения СЗ и СФ одномерного уравнения ФП. Границы применения данного подхода к интегрированию уравнения ФП можно, по-видимому, расширить в результате применения метода внешних дифференциальных форм. Теория грассмановых или внешних алгебр и дифференциальных форм излагается в /63-67/. Она обобщает, в частности, понятия криволинейного и поверхностного интегралов, а также теорему Стокса на произвольные дифференциальные многообразия. [c.60] Наличие второй производной по времени в (1.86) указывает на существование комплексных СЗ для краевой задачи, соответствующей уравнению Крамерса. Отвечающие комплексным СЗ решения описывают колебательные движения частиц вблизи минимумов потенциальных функций. Метод осреднения является эффективным в тех случаях, когда для решения поставленной проблемы не требуется детальная информация о функции распределения, и широко используется для анализа уравнения ФП. [c.61] Вернуться к основной статье