ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Уравнения краевые задачи свойства решений из "Численное моделирование процессов тепло- и массообмена" Характеристики являются линиями тока характеристика х = x t ie, i o) изображает на плоскости (i, х) движение частицы несущей среды, имеющей в момент i = io координату 2 = а о (рис. 3.1). [c.57] Значение искомой функции в любой точке (i, х ) определяется интегрированием уравнення (3.1.2) вдоль характеристики С, проходящей через точку ( , х ). Начальное условие задается в соответствии с (3.1.4) и= = ф (х1) при t = О, где Хд — координата точки пересечения характерпстшчп С с прямой =0 (рис. 3.2). [c.58] В простейшем частном случае прп а = onst, / = О решение задачи Коши выписывается явно u(t, х) = = ф(л — ai) (рис. 3.3). Отметим еще для этого случая решение специального вида м = ехр го)(а — ai), где м — произвольное вещественное число. Это решение описывает монохроматическую во хну, бегущую вдоль оси х с постоянной скоростью а. [c.58] Действительно, так как вдоль характеристики С производная du/dt неотрицательна, то на С функция u = u(t) пе убывает с ростом t. Если во всей области G, определенной неравенствами правая часть уравнения (3.1.1) неотрицательна, а также начальные и граничные значения неотрицательны, то искомая функция ие принимает отрицательных значений в области G (свойство позитивности). [c.60] Если характеристики с ростом t сходятся (область АА В В на рис. 3.8), то пространственный профиль становится более крутым, так как точки на оси х, соответствующие различным значениям и, сближаются. При расхождении характеристик пространственный профиль становится более пологим (область D D на рис. 3.8). [c.60] Опираясь на основные положения теории обыкновенных дифференциальных уравнений, высказанное выше утверждение можно доказать и для более общего случая — задачи Коши при a = a(i, х), f = fit, х) в предположении бесконечной дифферепцируемости этих функций. Особенности решения могут, очевидно, возникать и из особенностей функций ait, х), fit, х). [c.61] В краевых задачах для ограниченных областей причиной возникновения особенностей решения (при бесконечно-гладких коэффициентах уравнения) могут быть особенности не только начальной, но также и граничных функций. Укажем еще один, менее очевидный источник особенностей — несогласованность начальных и граничных ус-ловий. [c.61] Если ф(0) Ф 1]з(0), то даже при непрерывных и сколь угодно гладких функциях ф(а ), 1 (г) решение будет иметь разрыв, распространяющийся из точки t — О, ж == О по характеристике х — а1 = 0 (рис. 3.9). [c.61] Таким же образом- находим значение п в следующей точке и т. д. Приближенные значения искомой функции будут определены в вершинах ломаной Мц, М , Л/о, , аппроксимирующей характеристику. [c.62] Так как уравнения (3.1.2), (3.1.3) заменены разностными с погрешностями первого порядка относительно шага по времени, то такова я е и погрешность приб.т1ижен-ного решения. [c.62] Вернуться к основной статье