ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Алгебраическое исследование спектра оператора энергии гармонического осциллятора из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Дирак [41] нашел спектр самосопряженного оператора Ш в абстрактном гильбертовом пространстве //, опираясь лишь на соотношения (13) и (14). Приводимое ниже изложение в основном принадлежит Н. И. Ахиезеру. [c.302] Из соотношения (15) вытекает неотрицательность оператора Ш — так что искомый спектр 5( ) лежит в интервале [1, оо]. [c.303] Повторяя предыдущее рассуждение, получим, что либо X — 2 = 1, то есть Х = 3, либо число X—4 также является собственным значением. Так как оператор ограничен снизу, то при дальнейшем повторении этого рассуждения, в конце концов, второй случай станет невозможным. Таким образом, число а=1 окажется собственным значением оператора Se, а исходное его собственное значение X окажется целым нечетным числом. [c.303] Проведенными рассуждениями установлено, что собственными значениями оператора могут быть только положительные нечетные числа, и все они в действительности будут собственными значениями, если 0( )ф0. [c.303] Таким образом, норма правой части (21) при надлежащем выборе элемента g может стать сколь угодно малой, откуда вытекает принадлежность к С числа ( х — 2). Повторяя рассуждение, получим, в конце концов, что некоторое отрицательное число принадлежит С( ), а это противоречит неотрицательности оператора Ш —/. [c.304] Поэтому множество С должно быть пусто, и теорема доказана. [c.304] Вернуться к основной статье