ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Отрицательная часть спектра и узловые линии решений эллиптических уравнений из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Как и в одномерном случае, имеется некоторая связь между характером отрицательной части спектра и узловыми контурами решения уравнения (30). Назовем уравнение (30) неосцалляторным, если при некотором / в области 10Р Н его решения не имеют узловых контуров. В противном случае, когда при любом R существуют решения с узловыми контурами в области 0Р1 / , уравнение (30) назовем осцилляторным. Простейший пример неосцилляторного уравнения получим в случае финитного потенциала, ибо тогда в некоторой области ОР / решения уравнения (30) будут гармоническими функциями. [c.239] Доказательство. Без ограничения общности положим т = 2. [c.239] Если выполнено условие (25), то, согласно теореме б, отрицательная часть спектра самосопряженного оператора Ь исчерпывается конечным числом собственных значений конечной кратности. [c.239] Отсюда следует бесконечность множества точек отрицательной части спектра 5(А), что противоречит условию (25). [c.240] Если м(Р) = 0 при 10Р р, то из неравенства (32) следует отрицательность первого собственного значения Х(р) краевой задачи, определяемой операцией (1) в кольце / I ОР 1 р с нулевым краевым условием на его границе. Так как при уменьшении р до p = R собственное значение Х(р) возрастает непрерывно [54] до +оо, то при некотором p = Rl будет Х(р) = 0. Тогда соответствующая собственная функция будет искомым решением, имеющим узловой контур в области 0Р / . [c.240] Вернуться к основной статье