ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы О признаках полуограниченности и дискретности спектра многомерных краевых задач из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Для формулировки результата А. М. Молчанова напомним определение М. В. Келдыша [51 (1)] емкости множества. [c.230] Подробное доказательство этой теоремы имеется в [70]. [c.231] В ближайших рассмотрениях число измерений пространства будет несущественным, и можно для простоты принять т = 3. [c.231] При этих условиях часть спектра оператора L, лежащая левее точки а, ограничена снизу и дискретна. [c.231] Доказательство. Обозначим через 2 бесконечную часть области 2, отсекаемую от нее плоскостью z a, и пусть д есть самосопряженный оператор, порождаемый 2( 0) операцией (1) с нулевым краевым условием на полной границе области 2 . [c.231] Из неравенства (20) вытекает, что первое собственное значение краевой задачи, индуцированной оператором I — а/ в области Е , отрицательно, а это противоречит выбору числа Л . [c.232] Теперь из принципа расщепления следует, что часть спектра оператора расположенная левее точки а, ограничена снизу и дискретна. [c.232] Из доказанной леммы для случая q P) = 0 вытекает следующий признак Ф. Реллиха [83 (4)] дискретности спектра оператора Лапласа (см. также [40]). [c.232] Доказательство исчерпывается ссылкой на лемму 3. [c.232] Для областей с гладкой границей (например, достаточно. считать ограниченной кривизну границы) критерий А. М. Молчанова состоит в том, что область Q при сколь угодно малом г О должна содержать лишь конечное число непересекающихся сфер радиуса г. Естественно предполагать, что при выполнении условия А. М. Молчанова собственные значения оператора Лапласа тем быстрее будут стремиться к бесконечности, чем медленнее растет при г - О функция п (г), равная максимальному числу непересекающихся сфер радиуса г, которое способна вместить область Q. Однако соответствующие асимптотические оценки неизвестны. Один частный случай области, удовлетворяющей условиям теоремы 4, рассмотрен в конце п° 50. При Q = п q (Р) - оо асимптотические формулы получены в [95 (2)] и [61 (2)]. [c.233] В заключение этого пункта остановимся еще на вопросе о применении метода расщепления к так называемым вырождающимся эллиптиче ским уравнениям. [c.233] При у о, но при у - о может быть lim р х, у) = 0. Через Q обозначим ограниченную область, лежащую в верхней полуплоскости и примыкающую к оси абсцисс вдоль отрезка а х Ь. Для простоты примем, что дополнительная к этому отрезку часть границы определяется уравнением у== (л ), и будем считать (л ) 1. Зададим на границе области Q, за исключением отрезка а х краевое условие и х, у) = О и через L обозначим замыкание симметрического оператора, определяемого в 2( ) операцией (21) на достаточно гладких функциях, удовлетворяющих заданному краевому условию и исчезающих вблизи оси абсцисс. [c.233] Вернуться к основной статье