ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Область значений квадратичного функционала и внешнее поле регулярности линейного оператора из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Для доказательства соответствующей теоремы, которую можно рассматривать как распространение теоремы 36 на случай Х = — оо, понадобятся две следующие леммы. [c.105] Из леммы 12 также следует, что, как и в одномерном случае, свойство ограниченности снизу спектра оператора, порождаемого операцией (1), не зависят от значений коэффициента q P) в любой области шей (но теперь оно, вообще говоря, зависит от краевых условий на границе области Й). [c.108] Положим 2 — и будем называть финитную функцию N-финитной, если она тождественно равна нулю внутри сферы 0Р = N. [c.109] Следующее предложение является обобщением первой части теоремы 28 на многомерный случай. [c.109] Примечание. Утверждение леммы остается в силе, если дополнительно потребовать ортогональность в 2( ) искомой функции v P) к конечному числу функций, ортогональных в 2( ) Это следует из леммы Зп°6, относящейся к плотным линейным многообразиям в абстрактном гильбертовом пространстве. [c.111] Лемма 13 позволяет соответствующим образом ослабить требование двукратной непрерывной дифференцируемости в условии теоремы 41. [c.111] Деформацию произвольной области 2 с будем называть финитной, если она изменяет лишь ограниченную часть границы области О. [c.112] Если отрицательная часть спектра оператора 1 простирается в —оо, то инвариантность свойства а/ по отношению к финитному возмущению потенциала, конечной части границы и краевого условия на ней вытекает из теоремы 40. [c.112] Для построения пространства С. Л. Соболева (см., например, [89]) сначала вводится множество W всех функций и (Я), имеющих в w частные производные по всем координатам до порядка г включительно, непрерывные вплоть до границы 5 области w. [c.113] И замыкая множество W в этой норме, получаем пространство С. Л. Соболева 2 ((о). [c.113] Обобщить приведенное в п°17 доказательство леммы о расщеплении на случай операции (59) можно, как заметил М. Ш. Бирман, следующим образом. [c.114] Таким образом, компактность характеристической последовательности Д в 1 2 4 0 доказана. [c.117] Ограниченность последовательности т/ в 2( ) посредственно вытекает из (67). Некомпактность ее в 2( ) устанавливается так же, как и в п° 17. [c.118] Тем самым лемма о расщеплении для операции (59) доказана. [c.118] Обозначим замыкание множества значений квадратичного функционала (Л/, /) при / = 1 (/6 л) через К А), а его дополнение до всей Х-плоскости — через / (Л). [c.119] Если К Л) покрывает всю Х-ось, то / (Л) состоит из верхней и нижней Х-полуплоскостей, всегда принадлежащих полю регулярности П(Л) симметрического оператора А. Если же множество К (Л) не покрывает всю Х-ось, то оно является отрезком либо полуосью. При этом оператор Л ограничен или полуограничен и часть вещественной Х-оси. свободная от точек К (Л), также принадлежит П(Л). [c.119] Имея в виду обобщить включение (1) на случай любых замкнутых операторов Г, рассмотрим сначала случай диссипативных операторов. [c.119] Из полученного неравенства (2) следует, что нижняя Х-полуплоскость принадлежит полю регулярности диссипативного оператора Т. [c.119] Вернуться к основной статье