ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Включение многомерных краевых задач в общую теорию симметрических операторов из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Операцию (1) будем называть регулярной, если область Q ограничена и функция д (Р) непрерывна вплоть до границы этой области. Если же хотя бы одно из этих двух условий не имеет места, то операцию (1) назовем сингулярной. [c.79] Включение многомерной краевой задачи в общую теорию симметрических операторов начнем с построения минимального оператора определяемого операцией (1), и сопряженного оператора Ь. [c.79] Таким образом, любая дважды непрерывно дифференцируемая в области 2 функция является потенциальной, но потенциальная функция, будучи в силу представления (3) непрерывной, не является, вообще говоря, дважды непрерывно дифференцируемой. Из представления (3) следует, что в случае непрерывного распределения масс Ь(0) потенциальная функция будет обладать лишь непрерывными частными производными первого порядка. [c.80] Множество всех потенциальных функций является, очевидно, линейным. [c.80] Следующая лемма позволяет расширить операцию А на многообразие всех потенциальных в 2 функций с помощью равенств (3), (4). [c.80] Лемма 7. 1°. Если функция и Р) потенциальна в области 2, то для фиксированной области о)с 2 ком-поненты Н(Р) и (Р) функции и Р) определяются представлением (3) однозначно. [c.80] Доказательство (см. [31 (5)]). Обозначим оператор, определяемый операцией (1) на многообразии всех потенциальных в 2 функций V из 2( ) которых /[г ] 2( ) через М и покажем, что = М. [c.82] Пусть сначала г а и Р) — любая дважды непрерывно дифференцируемая и финитная в 2 функция. [c.82] Вопрос о явном виде краевых условий и решении соответствующих краевых задач для регулярных дифференциальных операций был рассмотрен в ряде работ М. И. Вишика (см. [24]). [c.84] Обозначим через 2 [а. С] часть пространства ё, расположенную между замкнутыми поверхностями а и С, из которых вторая может быть целиком удалена в бесконечность (в последнем случае Q [а. С] есть часть пространства ё, расположенная вне поверхности а). [c.85] Введем теперь используемое в дальнейшем понятие об эквивалентности краевых условий. [c.86] В заключение настоящего пункта приведем доказательство Г. Вейля леммы, использованной при доказательстве теоремы 33. [c.86] При таком выборе функций 1 и [ 2 плотности зарядов шара г (Р, Л1Х с и шарового кольца а г(Ро,М) д, порождающих потенциалы (13) и (14), непрерывны вместе со своими частными производными в области со. Поэтому функции иу (Q) и 2 (Q) будут дважды непрерывно дифференцируемы. При этом они удовлетворяют уравнению Пуассона. [c.88] Заметим, что доказательство леммы 8 существенно упростилось бы, если можно было бы а priori считать функцию и (Р) непрерывной [89]. В связи с леммой 8 см. также [29]. [c.89] Вернуться к основной статье