ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Отрицательная часть спектра и осциллягорные свойства дифференциальных операций из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Следующая лемма, основанная на тождестве (31), показывает, что если наименьшее собственное значение операции (26) на любом участке длины 2/г конечного интервала 2 выше некоторой грани, то наименьшее собственное значение операции (26) на интервале 2 также остается выше некоторой грани, не зависящей от длины этого интервала. [c.66] Лемма 6 [46]. Пусть Х(2) есть первое собственное значение операции (26) в интервале 2 с нулевыми краевыми условиями на концах этого интервала, а Х((о) имеет тот же смысл для интервала о). [c.66] Так как хотя бы одно из слагаемых под знаком первой или второй суммы в левой части соотношения (35) должно быть отрицательным, а число 8 О может быть взято произвольно малым, то лемма доказана. [c.67] Из леммы в легко вывести принципы локализации, выражаемые теоремами 29 и 30. [c.67] Теорема 29 [46]. Для полуограниченности опера-тора порождаемого операцией (26) в —оо, оо), необходимо и достаточно, чтобы множество чисел Х((о) было ограничено снизу, когда со пробегает совокупность всех отрезков фиксированной длины. [c.67] При /г == 1 данное выше определение совпадает с общепринятым. Действительно, если уравнение второго порядка (36) осцилляторно в смысле приведенного определения, то существует стремящаяся к бесконечности последовательность точек 1 2 такая, что для каждого интервала [а , существует решение уравнения (36), обращающееся в нуль на его концах. В силу известной теоремы о перемежаемости нулей любое решение дифференциального уравнения второго порядка будет иметь корень в каждом из интервалов [а , то есть будет иметь бесконечное число нулей. [c.69] Положим = а, и пусть есть любое число, большее р. [c.69] Из теоремы 31 следует также, что если уравнение (36) осцилляторно при X=г=XQ, то оно тем более осцилляторно при X Х . [c.71] В заключение приведем другое определение осцилляторности, эквивалентное принятому в начале этого пункта. Это второе определение ближе к обычному определению осцилляторности для дифференциального уравнения второго порядка в том отношении, что оно означает наличие бесконечной последовательности нулей у некоторой функции О (л А), построенной с помощью решений уравнения (36). При п = эта функция О х К) сама является решением дифференциального уравнения. [c.72] И обозначим через Г1, / г т кратности последовательных нулей XI Х2 . .. этого вронскиана (х I), лежащих в интервале (О, а). Очевидно, функция О (х К) в существенном определяется самим подпространством О, так как изменение базиса (39) может привести лишь к умножению (40) на постоянный, отличный от нуля множитель. [c.72] обратно, функция D (л А) имеет бесконечную последовательность нулей на полуоси л О, то есть имеет место (43), то из неравенства (41) следует (42). Отсюда на основании теоремы 28 заключаем о бесконечности множества собственных значений оператора L в ) расположенных левее точки А, откуда в силу теоремы 31 следует осцилляторность уравнения (36). [c.73] Из приведенных рассуждений вытекает альтернатива вне зависимости от выбора условий (37) функция D х А.) либо имеет при л О бесконечное множество нулей, либо имеет при л О лишь конечное число нулей. [c.73] В соответствии с изложенным выше, можно дать следующее, эквивалентное ранее принятому, определение осцилляторности уравнение 2л-го порядка (36) называется осцилляторным, если некоторый (а значит, и любой другой) вронскиан п-го порядка (40) имеет бесконечную последовательность положительных корней, в противном случае (когда любой вронскиан (40) имеет лишь конечное число положительных корней) уравнение (36) называется неосцилляторным. [c.73] Вернуться к основной статье