ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Спектр самосопряженного оператора и пробные многообразия из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Теорема 5. Если есть неизолированная точка роста функции Е , то Xq a). Обратно, если точка принадлежит С (А), но не является собственным значением бесконечной кратности, то есть неизолированная точка роста функции Е . [c.25] Если оператор Л а priori не может иметь собственных значений бесконечной кратности (таковы, например, одномерные дифференциальные операторы), то из изложенного выше следует, что С (Л) совпадает с множеством неизолированных точек спектра S (Л). [c.25] Дальнейшие теоремы связывают некоторые свойства спектра с существованием в 2) пробных многообразий. В формулировке теоремы 6 и далее дефектным чинлпм любого подпространства F называется размерность ортогонального дополнения Н (p)F. Дефектное число подпространства F обозначается через DefF. [c.25] Действительно, из неравенства (9) при / П Р следует (Л + В Хо/)/1 (Л-Хо/)/ - ЦВ/11 (8- 5 ) / . [c.27] Для односторонних возмущений доказанное предложение допускает следующее уточнение. [c.27] Если а = — оо, но 7 оо, то приведенные рассуждения сохраняют силу. Если же при а = — со будет оо, то приведенное доказательство и само утверждение теряют силу. [c.28] Из теоремы 7 вытекает следующая известная теорема Г. Вейля. [c.28] В силу симметрии формулировки теоремы относительно операторов Л и Л + теорема 8 доказана. Некоторым обобщениям этой теоремы будет посвящен п°5. [c.28] Переходя к доказательству достаточности приведенного условия, предположим, что, вопреки утверждению теоремы, в интервале А имеется лишь конечное множество собственных значений, и обозначим через Р ортогональное дополнение подпространства Е (А) Н до всего Н, Подпространство Р имеет конечное дефектное число, и при / будет выполняться неравенство (11). [c.28] Так как подпространство Е (А)//конечномерно, то можно найти в О вектор /, ортогональный к Е )Н. Для найденного вектора будет иметь место неравенство (И), противоречащее (12). [c.28] Теорема 9 дает необходимое и достаточное условие наличия точек непрерывной части спектра в данном интервале. [c.29] Другой признак существования непрерывной части спектра в данном интервале дает следующая теорема, которая легко устанавливается с помощью спектрального разложения. Эта теорема используется в главе V. [c.29] В дальнейшем везде (за исключением п°6) рассматриваемые симметрические операторы обладают равными дефектными числами. Дефектное число такого симметрического оператора Л обозначается через Dei Л. [c.29] Из теоремы 9 вытекает следующее предложение, которое для случая симметрических операторов уточняет ранее установленную теорему 4. [c.29] Теорема 11. Если множество точек спектра одного из самосопряженных расширений симметрического оператора с конечным дефектным числом, лежащих в данном интервале (а, Р), бесконечно, то множество точек спектра любого другого самосопряженного расширения данного оператора, лежащих в этом интервале, также бесконечно. [c.29] Назовем лакуной непрерывной части спектра симметрического оператора А любой смежный интервал замкнутого множества С (Л). [c.30] Теорема 12 Для того чтобы количество точек спектра самосопряженного оператора А, расположенных левее данной точка не превышало числа т, необходимо а достаточно существование подпространства Р с дефектным числом т такого, чтобы для всех выполнялось неравенство (13). [c.31] Если при любом X пересечение (— оо, X) П 5 А) исчерпывается конечным числом собственных значений конечной кратности, то говорят, что левее точки Х спектр дискретен. Последнее, очевидно, означает, что часть спектра 5 А), лежащая в интервале [— оо, Х ], не имеет других предельных точек, кроме, быть может, точки Х . [c.31] Теорема 15 [56]. Если Ко есть точка регулярного типа симметрического оператора А с конечным или бесконечным дефектным числом, то суш,ествует самосопряженное расширение А оператора Л, для которого Ко 8 (Л). [c.32] И покажем, что оператор Л самосопряженный и точка А. = О не принадлежит его спектру. [c.33] Вернуться к основной статье