ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Метод расщепления и общие теоремы о спектре из "Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов" Книга эта посвящена в основном исследованию хаоак-тера спектра сингулярных дифференциальных операторов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующей дифференциальной операции. Сингулярность рассматриваемых при этом краевых задач состоит в неограниченности области изменения независимых переменных или в том, что коэфг фициенты дифференциальной операции имеют особенности на границе этой области. [c.7] Хотя в книге и приводится много различных признаков того либо иного расположения частей спектра, она все же не предназначается для использования в качестве сборника готовых признаков. Ее цель скорее состоит в том, чтобы дать средства для получения признаков такого рода. Эти средства, основанные на общих предложениях теории операторов, названы здесь прямыми методами качественного спектрального анализа, и их применение иллюстрируется многочисленными примерами. Многие из них связаны с задачами, которые обязаны своим возникновением квантовой механике. [c.7] В первоначальном варианте книга была написана исключительно на основе статей автора [31], но в настоящем своем виде она содержит многие результаты других авторов, полученные в последние годы. Из них наиболее значительное место в книге занимает изложение ряда результатов М. Ш. Бирмана по исследованию природы спектра. [c.7] Качественный спектральный анализ или исследование природы спектра состоит в изучении множества точек спектра в зависимости от поведения коэффициентов дифференциальной операции, вида области и характера краевых условий. [c.9] После упомянутого фундаментального исследования Г. Вейля на протяжении пятнадцати лет почти не появлялось работ, связанных с сингулярными краевыми задачами. Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э. Шредингеру, опубликовавшему в 1926 г. две краткие заметки Quantiesirung als Eigenwertproblem [109]. Уже в первом из этих сообщений, заложивших математический фундамент квантовой механики, Шредингер получает стационарное уравнение для электрона, известное под его именем. [c.9] Задачи на определение энергетического спектра конкретных систем, изученные после этого в различных работах по квантовой механике, явились решающими для дальнейшего развития теории сингулярных дифференциальных операторов и, в частности, качественного спектрального анализа. [c.9] Таким образом, за 40 лет, прошедших после опубликования фундаментальной статьи Г. Вейля, усилиями многих авторов был накоплен значительный материал по качественному спектральному анализу сингулярных дифференциальных операторов. Однако этот материал не содержал результатов, относящихся к дифференциальным уравнениям высших порядков, и почти не касался (за исключением статей К. Фридрихса и Ф. Реллиха) многомерных сингулярных краевых задач. [c.10] Дальнейший прогресс в рассматриваемой области математического анализа был достигнут в значительной мере благодаря работам советских математиков. Начиная с 1950 г., в отечественной литературе публикуются исследования по качественному спектральному анализу дифференциальных операторов высших порядков и по систематическому изучению природы спектра многомерных сингулярных краевых задач. [c.10] При этом в методическом отношении здесь определились два направления — аналитическое и теоретико-операторное. По существу, эти направления обозначились еще ранее при решении классической проблемы Штурма — Лиувилля на конечном интервале, где они в определенной мере соответствуют асимптотическому методу Лиувилля и вариационному методу Куранта. [c.10] Аналитическое направление, входя в сферу классического анализа, опирается на асимптотические методы и аппарат теории аналитических функций. Аналитическим методам в теории сингулярных дифференциальных операторов второго порядка посвящены двухтомная монография Е. Ч. Титчмарша ([95(2)], 1960 первое издание— 1946, 1958) и известная книга Б. М. Левитана ([61(1)], 1950). Из результатов относительно природы спектра дифференциальных операторов высших порядков, достигнутых аналитическим путем, следует отметить теоремы И. М. Рапопорта ([82(1)], 1951), вошедшие в его монографию ([82(2)], 1954), и некоторые результаты М. А. Наймарка (см. [72(3)], 1954). [c.10] Теоретико-операторные методы по своему характеру в некотором смысле близки к прямым методам математической физики, и поэтому их можно назвать прямыми методами качественного спектрального анализа. [c.11] Основу прямых методов исследования природы спектра составляют метод расщепления и метод сравнения квадратичных форм. Эти методы опираются на общие теоремы теории расширений и спектральной теории операторов в гильбертовом пространстве, а также на известную теорему Г. Вейля о вполне непрерывных возмущениях. К прямым методам качественного спектрального анализа сингулярных краевых задач относится, в частности, мини-максимальный принцип Р. Куранта, применявшийся в случае неограниченных областей Р. Курантом ([54], 1931), Ф. Реллихом ([83(4)], 1948) и Д. Джонсом ([40], 1953). Развитие теоретико-операторных методов исследования природы спектра сингулярных дифференциальных операторов было подготовлено работами Р. Куранта, К. Фридрихса и Ф. Реллиха. [c.11] Объектом исследования в настоящей книге является спектр 5 ( ) сингулярных операторов, порождаемых различными диф ференциальными операциями. Сингулярность оператора может вызываться особенностями коэффициентов на конечном расстоянии или бесконечностью области изменения независимых переменных. Так, для операции Шредингера в случае одного электрона особыми являются точка расположения ядра й бесконечно удаленная точка. Для операции Трикоми в ограниченной области полуплоскости у О особые точки заполняют ту часть оси у —О, которая принадлежит границе этой области. В квантовомеханической задаче многих частиц многообразия особых точек простираются в бесконечность. [c.11] Стремление найти общую основу для исследования природы спектра одномерных сингулярных дифференциальных операторов любого порядка, многомерных сингулярных краевых задач и конечноразностных операторов привело к разработке теоретико-операторных методов качественного спектрального анализа и, в частности, метода расщепления (см. [31(1)], 1950]). Этот метод позволил при исследовании определенных свойств спектра игнорировать поведение коэффициентов дифференциальных операторов вне окрестностей особых точек, а также выяснить влияние, оказываемое на спектр отдельными особыми точками или границами. Поэтому метод расщепления в определенном смысле является способом локализации особенностей. [c.11] В дополнение к соотношениям (С) и (50 при исследовании характера спектра прямыми методами систематически используются пробные многообразия финитных функций ([31(2)], 1951). Эти многообразия используются в связи с вытекающей из спектрального разложения теоремой, в силу которой число точек спектра самосопряженного оператора Л, расположенных между — 8 и Хо- 8 или левее Х , равно максимальной размерности линейных многообразий, лежащих в 2) , на которых выполнено неравенство Л/ — / или соответственно (Л/,/) Хо(/, /). [c.13] Из этой теоремы, в частности, вытекает, что непрерывный спектр С А- -В) суммы самосопряженных операторов лежит в I 5II-окрестности непрерывного спектра С (Л). При дополнительном предположении об односторонности возмущения, когда, например, Б О, непрерывный спектр С А- - В) будет находиться в правой 51 -окрестности С (Л). [c.13] Использование соотношений (С), (50 и пробных многообразий, являющихся линейными оболочками бесконечной последовательности финитных функций с уходящими в бесконечность непересекающимися носителями, и составляет метод расщепления. Очевидно, метод расщепления позволяет при изучении сингулярных свойств спектра исключать значения коэффициентов дифференциальных операторов на конечном расстоянии и выявить влияние на спектр того или иного их поведения в бесконечности. При этом в известной мере становятся несущественными как порядок дифференциальной операции, так и число независимых переменных. [c.13] Вернуться к основной статье