ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Алгоритмы анализа устойчивости и вычисления релаксационных характеристик из "Моделирование критических явлений в химической кинетике Издание 2" Однако нахождение корней характеристического уравнения В ) = О может привести к большим погрешностям. Поэтому естественным образом встает необходимость локализации спектра матрицы К, не прибегая к вычислению корней полинома, непосредственно по его коэффициентам. [c.248] Знак [ J означает целую часть числа. [c.249] Необходимо отметить, что этот алгоритм обладает рядом недостатков, выявляющихся при его реализации на ЭВМ (см., например, [351, с. 111]). Во-первых, для работы алгоритма требуется отводить место для двумерной таблицы, (П2.5) во-вторых, почти половина чисел этой таблицы, располагающихся в правом нижнем углу, всегда равны нулю, а это не учитывается в-третьих, для получения очередного элемента первого столбца не обязательно вычислять всю предыдущую строку. [c.249] Стрелками в таблице отмечена последовательность заполнения элементов, а звездочками — момент проверки элемента на положительность. Встречая соответствующие элементы в последовательности действий впервые, мы должны ввести их, а в дальнейшем — вычислить с учетом (П2.6). [c.249] Одну из программных реализаций алгоритма можно найти в первом издании данной монографии. [c.249] Поскольку алгоритм определения устойчивости уже имеется, то для нахождения степени устойчивости необходимы еще две подпрограммы пересчета коэффициентов многочлена при сдвиге аргумента и организации итераций для уточнения степени устойчивости. [c.250] Непосредственно проверяется, что при i = 1 перед шагом 8 имеем бо = ао, Ь = а - rao и, таким образом, (П2.8) выполнено. [c.251] Остается заметить, что на выходе из алгоритма соотношение (П2.8) выполнено (при значении г = п), что дает нам формулы (П2.7). [c.251] Что касается подпрограммы организации итераций, то за начальное значение степени устойчивости X в ней принимается а па ). Затем текущее значение X увеличивается, пока не произойдет потеря устойчивости, после которой шаг изменения величины X уменьшается вдвое и начинается уменьшение X до появления устойчивости и т. д. [c.251] Мы нашли степень устойчивости X, как то значение сдвига аргумента вдоль действительной оси, при котором некоторый новый многочлен с действительными коэффициентами В - X)) оказывается на границе устойчивости. [c.251] Очевидно, правая часть соотношения (П2.9) — самосопряженное комплексное число и коэффициенты bj действительны. Легко изменить формулы (П2.9) так, чтобы все промежуточные вычисления содержали только вещественные числа. [c.252] Поскольку при нахождении запаса устойчивости по фазе по исследуемому многочлену строится некоторый вспомогательный многочлен вдвое большей степени, то при высокой степени п многочлена рекомендуется для уменьшения погрешностей производить предварительную нормировку коэффициентов. [c.252] Проведенные расчеты показывают, что для хорошей сходимости оказывается достаточным 30-40 итераций (в отдельных случаях и 10). В рамках заданного числа итераций величина X определяется с большей точностью, нежели П. Это легко понять, так как при вычислении необходимо работать с полиномом удвоенной степени по сравнению с исходным многочленом. Заметим, что время единичного расчета X и весьма мало. Это позволяет использовать предлагаемые программы и для параметрического анализа обсуждаемых линейных релаксационных характеристик Х(а) и Г1 а) (подобно тому, как это делалось в 1.7.1 для самого правого отличного от нуля собственного значения Л ). При организации работы программ в цикле по а будут получены искомые параметрические зависимости Х(а) и Г1(а). Более того, в отдельных случаях можно по характеристикам X и вычислять и Л. Однако всегда с помощью X и может быть построена область локализации собственных значений Л. [c.252] Вернуться к основной статье