ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Правильность совместною разложения единицы из "Спектральные методы в бесконечномерном анализе" 6 было установлено, что совместное р. е. — правильная мера, если каждое Rx — компакт или X не более чем счетно. Более того, справедливо следующее общее утверждение (фигурирующее ниже условие счетности в определенном отношении и необходимо, см. пример 1.1). [c.224] Теорема 1.6. Пусть Е — совместное р. е., построенное по семейству (Ех)хех коммутирующих борелевских р. е. Ех в пространствах Rx — фиксированное множество из Ga (Rx)- Если все supp Ех за исключением максимум счетного их числа — колтакты, то сужение Г является правильной мерой. [c.224] Лемма 1.2. Пусть R — хаусдорфово топологическое пространство, Л/ — а-алгебра. натянутая на некоторый содержащий R базис Б окрестностей в R , Э у ь. , a ) — р. е. (/=1,2). Предположим, что i и 2 коммутируют и существует построенное по Ei, 2 совместное р. е. Л Э I Е (а). Зафиксируем i рассмотрим сужение Г ( i X R2), которое предполагается неотрицательной мерой, т. е. Е ( i X R Ф 0. Пусть R2 — компакт. Тогда из того, что открытое б i X 2 множество вида о X R содержит supp ( h ( i X R ), следует, что о гэ supp ( 1 Г i). [c.224] Здесь (К) — комплекснозначная функция, заданная почти всюду относительно меры на / п измеримая относптельи.о первый из интегралов в (1.24) сходится в смысле сильной сходидюсти в Я. Конструкция интеграла (1.24) точно такая же, как и в классическом случае р. е., отвечающего одному самосопряженному оператору. [c.227] Таким образом, левый интеграл в (1.25) дает спектральное представление функции С норг. альных коммутиоующих операторов Л.г,,. .. [c.228] Таким образом, а р а) является числовой неотрицательной конечной мерой меру р будем называть следовой мерой для меры 0. [c.229] Поясним, что сходимость интеграла (2.2) по норме Гильберта — Шмидта означает его сходимость в смысле Бохнера, если Q (к) понимается как вектор-функция со значениями в пространстве операторов Гильберта—Шмидта из Я+ в Я . [c.230] ИЗ него определены все функции q (Я ф, ф) (ф, ) и 7 (Я ф, ф) О (Ф ). [c.230] Зафиксируем Я 3 и обозначим через А (X) оператор в Я+, отвечающий в базисе (е,) 1 матрице (а, (Я)) =ь где а/ (X) = д (X е , е,). В силу (2.6) этот оператор корректно определен и является оператором Гильберта — Шмидта. Из измеримости каждой функции 3 Э Э X д Х е,) (/, й Н) следует, что операторнозначная функция Р Э Я Л (Я) слабо измерима. Введем непрерывный оператор (Я) = = / Л (Я) Я+ Я и покажем, что он будет искомым. [c.231] Из измеримости А (Я) вытекает слабая измеримость Р Э Я (Я). [c.231] Пусть R — абстрактное пространство, Л — некоторая а-алгеора его множеств w Л а - Е а) — общее p.e., действующее в пространстве Яо- Как правило, мера Е не обладает конечным или а-конечным следом, поэтому непосредственное применение теоремы 2.1 сейчас невозможно. Однако удобно поступить следующим образом. [c.233] Лемма 2.1. Если оснащение (2.1) квазиядерное, то операторно-значная мера (2.11) обладает конечным следом. [c.233] Зафиксируем квазиядерное оснащение (2.1). Неотрицательная конечная мера Э р ( ) = Тг 0 Е (а) О) 6 tO, оо) называется спектральной мерой р. е. . Ясно, что и р абсолютно непрерывны одна относительно другой равенства (а) = О и р (а) = О при некотором а Л эквивалентны. Применяя к (2.11) и р теорему 2.1, получаем следующее утверждение. [c.234] Здесь Р (X) Я+ Я — слабо измеримая относительно Я определенная р-почти для всех X R операторнозначная функция такая, что Р X) Q, Р (X) I Тг (Р (X)) = , Р (X) носит название обобщенного проектора. [c.234] Пусть Ex)xix — семейство действующих в Яо коммутирующих р. е. в пространствах Са (Rx) В ос Е а) — его совместное р. [c.234] Теорема 2.3. Спектральная мера р совместного р. е. Е всегда регулярна. Справедливо равенство зирр р = зирр Е. Мера р правильная тогда и только тогда, когда Е правильна. [c.235] В предыдущем пункте было введено понятие общей спектралип( 1 л еры р, отвечающей р. е. Е. Отметим один важный случай, касающийся совместного р. е., порожденного рассматриваемым се час сем . -ством А = (Лд.)..- а , когда роль р может играть еще одна мера, отличная от Тг (О Е (а) О) и построенная стандартной процедур . [c.236] плотна в (в частности, л, Л и / , 2+ могут сыть произвольными). [c.236] Э ан р (а) (Е (а) й, П)и, [О, оо) является одной из спектральных мер этого семейства. [c.236] Вернуться к основной статье