ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Простейшие одномерные задачи из "Квантовая механика и квантовая химия" Введение основных положений требует и развития определенного аппарата теории, а также обсуждения ряда вопросов, носящих вспомогательный характер, но определяющих структуру многих квантовомеханических выражений. Прежде всего имеет смысл остановиться на небольшом числе простых задач, иллюстрирующих то, как и какие рассуждения проводятся и какие результаты получаются в квантовой механике. [c.27] Существование второй производной требует, чтобы функция была непрерывной вместе со своей первой производной. Вторая же производная определяется поведением потенциала У(х) если он имеет точки разрыва, то разрывной в этих точках будет и вторая производная. Из физических соображений, связанных с вероятностным смыслом 1 )(д ) как плотности вероятности обнаружения частицы в точке х, следует требование, чтобы функции были всюду ограниченными. [c.27] Полученное решение должно удовлетворять, согласно сказанному в п. а, двум граничным условиям yp (-L/2) = Ы2) = О, т.е. [c.31] Воспользовавшись далее простым тригонометрическим соотношением 81п=ф = (1 - со82ф)/2 и взяв определенный интеграл от этого выражения, окончательно получим 1 = / 2, так чтоА = у]2/1 и,следовательно. [c.32] Поскольку X. в - действительная положительная величина, а волновая функция прих - оо должна оставаться ограниченной, то очевидно, что коэффициент а следует выбрать равным нулю, так что = Ье . [c.34] Таким образом, в данной задаче, в отличие от предыдущей, решения существуют при всех Е 0. Эти решения, однако, различаются по своему поведению справа от точки разрыва для потенциала над потенциальной ступенькой г )и представляет собой линейную комбинацию двух экспонент от мнимого аргумента, или, что то же, линейную комбинацию синуса и косинуса кх, тогда как под ступенькой - это затухающая экспонента стремящаяся к нулю тем быстрее, чем больше X, т.е. чем ниже соответствующий уровень энергии. В классической механике такому потенциалу отвечало бы два типа движения при Е У материальная точка (шарик) двигалась бы, например, слева направо (от некоторого значения х О при г = 0) равномерно со скоростью, равной ее скорости в момент времени г = О и кинетической энергией т /2 далее при прохождении над ступенькой ее энергия не менялась бы, а скорость уменьшалась скачком до величины у = рт Е-Уо), а при Е = У она в этой точке останавливалась бы. При Е У картина иная дойдя до ступеньки, материальная точка отражается от нее и с такой же (по абсолютной величине) скоростью, что и у,, идет назад. [c.35] В этом интеграле функция с Е), так же как и коэффициенты с в линейной комбинации (15), полностью должна определяться заданием начальных условий г )(х, г = 0). [c.36] Линейная комбинация двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при определенном соотношении коэффициентов А и В дает стоячую волну, представляемую, например, выражением вида Ф = а/(кх + б,)-со8((ог + 63), где а, б, и 2 - некоторые постоянные, а / - некоторая функция, равная, в частности, синусу или косинусу аргумента кх + Если сравнить это выражение с (14), то несложно убедиться, что они по своей сути одинаковы (при этом роль/играет, а в качестве временного множителя вместо со8((ог + б ) выступает е ), так что стационарные решения уравнения Шредингера в отличие от других возможных решений, например типа (15), представляют, по-существу, стоячие волны, квадрат модуля которых пропорционален плотности вероятности обнаружения частицы в той или иной точке пространства. [c.36] Чтобы ответить на него, целесообразно обратиться прежде всего к физической сути задачи. Очевидно, что любая реальная задача имеет дело с ограниченным объемом, в котором находится частица. Часто границы находятся достаточно далеко, положения мы их не знаем точно, и они не должны существенно сказываться на результатах. Тем не менее, границы есть, а это означает, что можно всегда поместить частицу в очень большой потенциальный ящик, на дне которого могут быть ступеньки, барьеры и тому подобные неровности, однако области их локализации существенно меньше размера ящика L. Волновые функции, отвечающие стационарным состояниям, в таких задачах обладают интегрируемым квадратом модуля, т.е. они могут быть нормированы. В то же время по мере увеличения L они должны приближаться к тем функциям, которые отвечают непрерывному набору значений Е, т.е. к функциям непрерывного спектра. [c.39] Коль скоро по исходному построению последний интеграл конечен, то для нормировки всей функции Ф достаточно потребовать, чтобы вместо исходной функции с(Е) в интеграле стояла функция с(Е)/М, отличающаяся от исходной лишь числовым множителем. [c.40] Без сомнений, нормировка на 5-функцию пока что выглядит довольно формальной процедурой. Потребовались годы для того, чтобы обосновать существование 5-функций, построить последовательности обычных функций, стремящихся к 5-функциям, показать, каковы свойства 5-функций помимо уже упомянутых и т.д. Эти конструкции привели к обобщению обычного понятия функций и к введению представлений о так называемых обобщенных функциях. Нам пока нет смысла заниматься всеми этими проблемами, ибо они нас уведут в сторону от основных вопросов. По этой причине будем просто полагать, что такие функции существуют и что нормировка на них может быть осуществлена, например при предельном переходе от некоторых, достаточно больших, но конечных пределов интегрирования к бесконечным пределам. [c.40] Отметим, что сводка основных формул, определяющих свойства 5-функций, дана в Приложении 2. [c.42] Вернуться к основной статье