ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Краткая вспомогательная сводка определений и соотношений из линейной алгебры и функционального анализа из "Квантовая механика и квантовая химия" Математический аппарат квантовой механики во многом опирается на линейную алгебру и функциональный анализ, поэтому имеет смысл предпослать изложению квантовой механики краткую сводку ряда определений и результатов из этих разделов математики. [c.8] Каждое из чисел х., определяющее вектор х в заданном базисе, называется компонентой вектора, так что вектор х задается совокупностью его компонент. Базис фактически определяет систему координат, в которой определен каждый вектор пространства. [c.8] Здесь а - произвольное (комплексное) число, звездочка обозначает знак комплексного сопряжения, и знак равенства в 4° выполняется только при условии, что X = 0. Из 2 и 1° непосредственно следует, что (х, ау) = а(х, у). Скалярное произведение вектора х на самого себя определяет квадрат его длины х = ЦхР = (х, х)- Два вектора, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными. [c.8] Очевидно, что любой линейный оператор, определенный на 91, допускает представление в виде матрицы А. [c.10] Отметим, что в качестве элементов а., матриц А могут выступать и функции, например а.. х, у, г). Тогда определители (1е1А также будут в общем случае функциями соответствующих переменных они называются функциональными определителями. [c.11] Если для квадратной матрицы А найдется такая матрица В, что АВ = Е, то матрица В называется обратной по отношению к А, что обычно указывается просто символом А . Отметим, что АА = А А = Е. [c.12] Под символом скалярного произведения ф г ) могут подразумеваться весьма различные операции, лишь бы при этом выполнялась совокупность требований 1°-4°. Пространство функций, в котором определено скалярное произведение (16) в физике часто называют гильбертовым, хотя это определение несколько отлично от того, что подразумевают под гильбертовым пространством в математике (где требуется еще и полнота относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением, тогда как в отсутствие этого требования пространство называется предгильбертовым, или унитарным). [c.14] Вернуться к основной статье