ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Устойчивость диссипативных структур из "Математическая биофизика" Методы исследования устойчивости ДС развиты в работах Осипова и Кернера [4, 16] на примере образования страт в плазме. Фактически используется метод Ляпунова, т. е. определяется временная зависимость малых отклонений от стационарных решений х г) и у (г). Малые отклонения 8х г, f), by г, t) (девиации) ищутся в форме bx r,t)= r)eP ,by r,t)=(f r)eP . Устойчивыми являются решения, где все характеристические числа р имеют отрицательную вещественную часть. Для яр (г) и ф (г) возникает система однородных дифференциальных уравнений, собственными значениями которой являются характеристические числа р. Таким образом, в каждой задаче имеется спектр р, содержащий бесконечное число значений. В этом отличие от устойчивости точечной модели, где р — собственные значения алгебраической задачи и число их конечно. [c.235] Определение спектра р методически близко к задачам квантовой механики эта аналогия существенно помогает в конкретных случаях. В общем случае метод прост, но громоздок, поэтому мы проиллюстрируем его на примере двух базовых моделей и начнем с модели класса сборки, поскольку она локализуема и все исследования проводятся до конца в рамках модели. [c.235] В этой потенциальной яме существуют два связанных состояния с п=0 ( ро (/ )) и А1=1 (1151 (г )). Наибольшее собственное число рп соответствует основному знакоопределенному решению яро (г ) и равно нулю ( ро=0). Собственное число функции яр1(г ) равно р1= =—2 остальные собственные числа тоже отрицательны. [c.236] Таким образом, решение типа одной ступеньки всегда устойчиво. [c.236] Они принадлежат двум собственным функциям двухъямной задачи которые представляют собою симметричную и антисимметричную комбинации (/ ) и Чзо(г —Ь ). [c.237] Положительному инкременту соответствует антисимметричная комбинация функций. Эта комбинация и является нарастающей. Знак самой комбинации не определен и потому случаен. В случае, когда знак положителен, нарастание возмущений ведет к расталкиванию ступенек в противоположном случае — к их сближению и аннигиляции. [c.237] Величина ты превосходит (хотя и незначительно) характерное расстояние Д/- . Отсюда следует, в частности, что периодические решения уравнений (11.30) с периодом порядка (т. е. далекие от особого решения) неустойчивы (о чем уже упоминалось выше). [c.237] В моделях класса складки необходимо исследовать полную систему уравнений для яр (г) и ф(г). При этом удобно выделить характерное время в развитии переменной у (т ,=т) и длину диффузии Л2,=Л они связаны с коэффициентом диффyзии]D Л=l/ Dт (величины Та и Лж мы примем равными единице). [c.237] Собственные числа его таковы, что ро =1,25, 1,25 (оно соответствует симметричной функциигро(г)), р1=0 но соответствует антисимметричной функции гр (/ )) и остальные р,- отрицательны. [c.238] Та же ситуация имеет место и в других моделях складки. Таким образом, устойчивыми пичковые решения могут быть, только если вклад демпфирующей переменной (т. е. Ру(р) в инкремент р не мал по абсолютной величине. В этом главное отличие исследования устойчивости ДС в моделях складки и сборки. Устойчивость по отношению к антисимметричным девиациям 1 г) имеет место, даже если сдвиг инкремента р мал (но отрицателен). Практически это условие почти всегда выполняется. Поэтому мы сосредоточим внимание на сдвиге инкремента ро. [c.238] Уравнения (11.44) исследовались в работах [4, 16], несколько иным и более простым методом — в работе [25]. Опуская промежуточные выкладки, приведем основные результаты и проиллюстрируем их на примерах известных моделей. [c.238] Для количественного определения ро необходимо найти функции ф (/ ), гроМ и величину G , . Функция 1 Зо(/ ) во многих конкретных случаях может быть определена точно (например, уравнение (11.46) решается точно и его решения гр (/-) — функции Эйри). Функция гро (г) может быть найдена приближенно (или с помощью ЭВМ). [c.239] Отметим также, что при анализе устойчивости единичного пичка на бесконечном отрезке становятся важньши антисимметричные девиации, поскольку инкремент в этом случае равен нулю точно. Физический смысл этого прост в силу трансляционной инвариантности сдвиг уединенного пичка не вызывает сил, возвращающих его на прежнее место. [c.239] Отметим, что в общем случае величины Ор сами зависят от ро и тогда выражение (11.50) следует рассматривать как уравнение для Ро. При этом возможно появление комплексных значений Ро и, следовательно, колебательных (периодически дышащих ) ДС. [c.239] Рассмотрим для иллюстрации устойчивость ДС в обсуждавшихся выше моделях складки. [c.239] Так как периодические ДС в простейшей модели существуют лишь при 2а , то можно заключить, что они всегда неустойчивы. Таким образом, в простейшей модели нет области существования и устойчивости периодических ДС. [c.239] Сопоставляя его с величиной в классе сборки (см. (11.43)), видим, что в данном случае зависит от большой диффузионной длины Л степенным, а не логарифмическим образом. [c.240] Нетрудно видеть, что вещественная часть ро всегда отрицательна, т. е. единичный пик устойчив. При значениях т, лежащих в интервале 40 т(5+3) (5+1) М В2 0,016, инкремент содержит мнимую часть, и это значит, что процесс релаксации возмущений имеет колебательный характер. [c.240] Вернуться к основной статье