ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Редукция систем и теория катастроф из "Математическая биофизика" В предыдущем параграфе предполагалось, что малый параметр (отношение характерных времен) существует априори. Действительно, во многих биофизических задачах имеется четкая временная иерархия, что, по нашему убеждению, не случайно, а определяется спецификой биологических систем. Однако даже в редуцированной (вырожденной) системе, где все времена имеют одинаковый порядок, можно выделить такую область параметров и переменных, в которой есть возможность дополнительно понизить порядок системы. [c.18] Это имеет место вблизи точки бифуркации, когда одно из характеристических чисел р (или его вещественная часть) обращается в нуль и меняет знак. Одновременно меняется топология фазового портрета, в частности, число особых решений. [c.18] Можно сформулировать две теоремы сведения первую — для бифуркаций седлового типа и вторую — для бифуркаций фокусного типа. Подчеркнем, что теоремы сведения носят локальный характер, они справедливы в ограниченной области фазового пространства, где отклонения переменных от стационарных значений достаточно малы, в отличие от теоремы Тихонова, имеющей глобальный характер. Начнем с седловой бифуркации. [c.18] Теперь, чтобы исследовать характер бифуркаций в полной системе (1.16), нужно изучить, как меняется тип особой точки в зависимости от параметров е, а, Ь и с всего лишь одного уравнения (1.18). В этом и состоит теорема сведения. [c.19] Выше предполагалось, что вдали от бифуркации характерные времена изменения х и х одного порядка. В частном, но важном случае переменная х может оказаться быстрой , т. е. ее характерное время Ti- l. Тогда изложенное выше справедливо в области e- Ti и теряет силу при e Ti. Однако утверждение о том, что задача сводится к одномерной, остается верным и в последнем случае, т. е. в области фазового пространства, где точка движется по координате х , а остальные рассматриваются как параметры. [c.21] При этом 0 i2=— 21= , iil 22 e. Тогда характеристические корни линеаризованной системы (1.20) представляются в виде. Pi,i=—е ш. Пользуясь малостью величин ц и a 2, можно показать, что и в этом случае подсистема (1.206) является присоединенной, а вся система (1.20) редуцируется до двух уравнений, содержаш,их только переменные х[ и х . Доказательство этого утверждения принадлежит Шошитайшвили [5, 12]. [c.21] Рассмотренные бифуркации не сводимы друг к другу. Вблизи других, более сложных бифуркаций п-мерная модель может быть заменена эквивалентной трех-, четырех- и т. д.-мерной в зависимости от сложности бифуркаций. [c.22] Как уже упоминалось, теория бифуркаций близка в идейном отношении к теории катастроф . Сам термин, а также ряд основных понятий этого направления были предложены Рене Томом. Теория катастроф имеет как методологический, так и чисто практический аспекты и ей посвяш,ена богатая литература (см. [12] и библиографию там). Наша цель — обсудить здесь простейшие катастрофы в связи с математическими моделями, которыми мы занимаемся. [c.22] Здесь и ниже х — это отклонение от стационарного состояния. Форма (1х (И=—.а является в этом случае общей и к ней локально может быть приведена любая одномерная модель путем выбора масштабов X, 1 V. сдвига х=х - -а. [c.22] В идейном отношении оно соответствует понятию грубости модели, введенному Андроновым еще задолго до появления теории катастроф . Значение его заключается в том, что качественные выводы, полученные на основе грубой (или структурно устойчивой) модели, являются общими и остаются справедливыми, даже если параметры модели определены не точно или варьируют от случая к случаю. В биологии это свойство особенно важно. [c.23] Катастрофы типа складки появляются в моделях, описывающих релаксационные автоколебания, так называемые ждущие режимы и триггерные системы (см. рис. 9.3). В распределенных системах модели типа складки используются для описания автоволновых процессов и диссипативных структур. [c.23] Здесь Р — кубический полином, зависящий от двух параметров — Ui и 2- Соответствующая математическая модель содержит три переменные. Изоклинная поверхность dxldi=0 (аттрактор) представлена на рис. 1.6. Видно, что на ней имеется сборка, вершина которой соответствует слиянию трех особых точек, что имеет место при Ui=U2=x=0. На ребрах сборки имеют место катастрофы типа складки. Таким образом, в трехмерном фазовом пространстве складке соответствует более мощное множество, нежели сборке. Модели, содержащие катастрофу типа сборки, используются для описания релаксационных автоколебаний малой амплитуды, колебательных режимов со смещением средней точки и диссипативных структур ступенчатого типа. [c.24] В случае сборки форма (1.25) описывает поведение системы и при больших временах, поскольку изображающая точка остается вблизи прежнего стационарного состояния (на расстоянии )/и ). Можно сказать, что катастрофа типа сборки локализуема это относится и к катастрофе бабочка с нечетной коразмерностью. [c.24] В заключение этого параграфа вспомним снова- о странных аттракторах в связи с теорией бифуркаций. [c.24] Отметим, что в обоих случаях размерность странного аттрактора меньше размерности всего фазового пространства (в случае системы третьегЬ порядка — это некоторая поверхность или даже часть ее). Можно привести пример странного аттрактора, занимающего все фазовое пространство. Это система типа биллиарда Синая (см. рис. 12.2), в которой рассматривается поведение шарика на участке плоскости, ограниченном отражаюш,ими выпуклыми стенками. Система консервативна и фазовое пространство ее четырехмерно (две координаты и два импульса). Шарик совершает случайное движение по плоскости, отражаясь от криволинейной стенки, и изменяет свои.координаты и импульсы так, что фазовые траектории заполняют равномерно все фазовое пространство (происходит полное перемешивание траекторий). Бифуркация в этой системе, приводящая к появлению странного аттрактора, возникает в результате изменения параметра — кривизны стенки. Использование модели биллиарда Синая для обоснования сложных проблем теоретической биофизики мы подробно обсудим в главе 12. [c.25] Вернуться к основной статье