ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Расчет стационарного сверхзвукового течения нереагирующего га. 2.2.2. Расчет стационарного сверхзвукового течения с физико-химическими превращениями и двухфазного течения из "Газовая динамика сопел" И экспериментальных данных, а также значительное их отличие от параметров идеального газа с 7=1,4. Кроме того, реальные свойства газа оказывают значительное влияние на величину коэффициента А в уравнении расхода (1.142), который увеличивается па 10—15 % при увеличении ро от 1 до 50 МПа, Изменение температуры торможения в пределах от 200 до 500 К незначительно влияет на безразмерные газодинамические параметры, хотя очевидна естественная тенденция сближения значений параметров идеального и реального газов с ростом температуры. Интересно отметить, что отношение удельных теплоемкостей при больших ра может значительно превышать 1,4, достигая 2—2,5. [c.60] В этой главе излагаются методы расчета сверхзвуковых и смешанных течени11 газа в соплах, а также методы решения релаксационных уравнений. Численные методы, включенные в данную главу, с нашей точки зрения достаточно универсальны. Они широко используются при изучении внешних и внутренних задач газовой динамики с помош,ью ЭВМ [2, 8, 37, 56, 82, 136, 147, 149— 152, 154, 169, 220, 230]. Изложение предполагает знакомство читателя с методом сеток. Изложение теоретических основ сеточпых методов содержится, например, в работах [38, 86, 137, 152, 161, 162, 171, 179-181, 225]. [c.61] При расчете течений с неравновесными физико-химическими превращениями необходимо вдоль линий тока или траекторий частиц численно интегрировать уравнения, описывающие исследуемый неравновесный релаксационный процесс, например, уравнения (1.21), (1.34), (1.96). Кинетические, или релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старшей производной, что усложняет их численное интегрирование. К числу таких релаксационных уравнений относятся уравнения сохранения массы химическо компоненты, уравнения для определения колебательной энергии, уравнения для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках, уравнеР1ия переноса излучения и т. д. Особенность неравновесных течений в соплах состоит в том, что они начинаются из состояния покоя, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а, следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. При использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера или Рунге-Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможным даже при использовании современных вычислительных машин. [c.61] НЫМИ п универсальными из них являются методы, основанные на использовании неявных разностных схем [35, 79]. Основное требование к таким методам — возможность расчета по единой схеме с высокой точностью как областей, где неравновесные параметры близки к равновесным значениям, так и тех областей, где имеет место заметное отклонение от них. Ниже дается обоснование выбора неявных разностных схем для расчета релаксационных урав-нентг [79]. [c.62] 6) следует, что решение разностного уравнения (2.5) стремится к точному при кО для всех 5 таких, что 0= -5 - 1. [c.62] Однако точность и усто11чивость решения разностного уравнения зависит от величины этого параметра. При 5 = 1/2 решение разностного уравнения имеет второй порядок точности. При 5=1 (явная схема типа схем Эйлера или Рунге-Кутта) и к 2 1 решение разностного уравнения сильно отличается от точного. Максимальный шаг, с которым можно численно интегрировать уравнение (2.1), равен 2т. Поэтому явные схемы позволяют численно интегрировать релаксационные уравнения вблизи равновесия, где время релаксации т мало, лишь с очень малым шагом Ъ 2т), что делает их абсолютно непригодным даже при исиользоваппи ЭВМ с большим быстродействием. [c.63] При 5 = 1/2 и X 1 из (2.5) следует, что решение разностного уравнения колеблется около точного с амплитудой, не большей ао —а , и при увеличении шагов эти колебания затухают медленно. Тем не менее разностная схема при 5 = 1/2 дает решения, близкие к точному в тех областях, где величина ао а мала по сравнению с а. Такие области соответствуют малым значениям т и течениям, близким к равновесию. В тех же областях, где т велико, а течение суш,ественно отклоняется от равновесного (например, в угловой точке или за ударно волной), величина ко—а может быть сравнима с а и использование разностной схемы нри 5 = 1/2 может приводить к большим ошибкам. Кроме того, как показывает рассмотрение модельного уравнения при 5 = 1/2 и больших X, ошибка в начальных данных затухает лишь после значительного числа шагов. Это обстоятельство может затруднять отход от начальных точек вблизи равновесия, особенно для многокомпонентной смеси. [c.63] С другох стороны, при 5 0,5 множество X, Ке X, 0 заведомо принадлежит области устойчивости, и на шаг интегрирования ограничения накладываются лишь в связи с ошибками аппроксимации схемы. [c.64] В связи с этим более предпочтительными являются неявные схемы с О 5 1/2, которые при % 1 дают решения, близкие к точному, и при использовании которых ошибки в начальных данных быстро затухают. Применение таких схем позволяет существенно увеличить шаг интегрирования по сравнению с явными схемами при сохранении устойчивости. В работах [79, 94] при проведении конкретных расчетов использовалось значение 5 = 0,4, что обеспечивало порядок точности, близкий ко второму. Проделанный анализ модельного уравнения можно обобщить на случай, когда а является не постоянной, а известной функцией от Ь. [c.64] Таким образом, в описанном алгоритме решение релаксационных уравнений основано на использовапии неявных разностных схем, разрешении разностного уравнения типа (2.3) относительно а +1 с целью устранения произведения малой разности больших величин на большую величину, решении нелинейной системы уравнений типа (2.7) методом Ньютона. [c.65] В то же время отметим, что применение итерационной схемы Ньютона для решения конечно-разностных уравнений (2.7) не, обеспечивает выполиение законов сохранения на промежуточных итерациях. Показано, что выполнение законов сохранения с заданной относительной точностью еще не гарантирует того, что концентрации нри этом будут находиться с такой же относительной точностью. Особенно неточно при этом могут находиться концентрации веществ, содержание которых в смеси мало. Поэтому чтобы гарантировать заданную относительную точность расчета всех концентраций (в том числе и токсичных), надо следить за тем, чтобы с необходимой для этого точностью удовлетворялись в первую очередь те из уравпений (2.7), которые соответствуют наименьшим компонентам. Кроме того, сходимость итерационных методов, применяемых для решения (2.7), практически всегда улучшается, если значения а +1 во всех промежуточных итерациях точно удовлетворяют законам сохранения. [c.65] Точный расчет малых концентраций не имеет важного значения в тех задачах газовой динамики реагирующих сред, где определяются интегральные характеристики. Например, погрешность расчета малых концентраций при определении потерь удельного импульса па химическую неравновесность для течения многокомпонентной смеси в сопле реактивного двигателя не дает существенной погрешности в результатах исследований. В задачах н е исследования процессов токсичных компонентов в энергетических установках необходимо с достаточной точностью определять концентрации токсичных веществ. Поэтому становится очевидной необходимость разработки таких итерационных схем решения конечно-разностных уравнений химической кинетики, в которых обеспечивается точное выполнение законов сохранения на каждой итерации и, следовательно, малые концентрации вычисляются с заданной относительной точностью. Напомним, что законы сохранения являются точными интегралами уравнений кинетики. [c.66] Обеспечить точное выполнение законов сохранения химических элементов па промежуточных итерациях возможно различными способами. Одип из них заключается в том, что N неизвестных концентраций находятся в результате численного решения соответствующих им N уравнений (2.7), а остальные концентрации исключаются. Очевидно, что в качестве последних необходимо выбирать концентрации тех компонентов, содержание которых в смеси наибольшее. [c.66] С появлением ЭВМ в течение многих лет метод характеристик является одним из основных методов расчета двумерных сверхзвуковых и одномерных нестационарных течений газа. Реже этот метод используется для расчета пространственных стационарных и двумерных нестационарных течений. Он может быть использован не только для расчета течений нереагирующего газа с постоянным показателем адиабаты, но также и для расчета течений с физико-химическими превращениями, такими как возбуждение колебательных степеней свободы молекул, химические реакции, двух-фазпость, а также течений газа с наложенными электромагнитными полями. [c.66] ВОДНЫХ (1.3), описывающих одномерное нестационарное течение газа, сводится в результате применения метода характеристик к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль характеристик (1.77). Система (1.82), (1.84), (1.86), (1.91), описывающая неравновесное стационарное течение газа, сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (1.92) — (1.95). [c.67] Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, естествепно, существенно упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Вычислительный алгоритм решения уравнений направления и совместности обычно включает итерационный процесс, при этом первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения. [c.67] В формулах (2.10) — (2.15) верхние знаки соответствуют характеристикам первого семейства, нижпие — характеристикам второго семейства. Для безвихревых течений множитель -у нужно заменить на единицу очевидно, что в этом случае исчезает в (2.12) член, содержащий (18. [c.68] Двойной индекс означает усреднение по значениям в соответствующих точках, иапример, Л13 =( 1 + Лз)/2, Л23 =( 2 + з)/2 и т.д. [c.69] Система решается итерациями, при этом в первом приближении вместо полусумм берутся значения коэффициентов в соответствующих опорных точках (1 или 2). В силу хорошего начального при-б,пижения удовлетворительная точность обычно достигается за две-три итерации при разумном, с точки зрения ошибок аппроксимации, выборе шагов характеристической сетки при решении каждой конкретной задачи. [c.69] Вернуться к основной статье