ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Примеры анализа размерностей из "Анализ размерностей" Повторим прежде всего результаты предшествующей главы. Приступая к анализу размерностей, мы должны представить себе, что перед нами задача обычного анализа, которую надо выполнить по крайней мере до стадии суждения о природе проблемы и до выяснения всех физических переменных, которые должны войти в уравнения движения (в общем смысле) и также всех размерных коэффициентов, требуемых для написания уравнений движения. Затем нужно выписать размерности всех переменных относительно основных единиц. Эти единицы для каждой конкретной проблемы должны выбираться так, чтобы число их было возможно большим при условии отсутствия компенсирующих размерных постоянных в уравнениях движения. Далее, в соответствии с П-теоремой должны быть образованы произведения переменных, не имеющие размерности. Эти произведения следует выбирать из большого возможного разнообразия таким способом, чтобы переменные, в которых мы заинтересованы особо, фигурировали вполне отчетливо. После формирования произведений П-теорема непосредственно приводит к функциональному соотношению. [c.65] Попробуем это сделать. Выпишем переменные и их формулы размерности, как это уже делалось во введении. [c.66] Теперь у нас четыре переменных. П-теорема указывает, что имеется одно произведение без размерности, которое должно равняться постоянной величине. [c.67] Размерность множителей в правой стороне должна быть в итоге такой же, как у скорости, стоящей изолированно с левой стороны. [c.67] Выпишем последовательно условия равенства показателей М, L и Т с обеих сторон уравнения. [c.67] Скорость гравитационной волны в глубоководном резервуаре (глубина не входит в конечный результат, потому что мы постулировали, что вода очень глубока) пропорциональна таким образом корню квадратному из длины волны и ускорения силы тяжести или пропорциональна скорости, приобретаемой телом, свободно падающим под действием тяжести на расстоянии, равном длине волны. [c.68] Заметим, что плотность жидкости исчезла в окончательном результате. Это можно было предвидеть если плотность удваивается, то удваивается и сила тяжести, действующая на каждый элемент, поэтому ускорение, а следовательно, и все скорости остаются неизменными, так как удвоенная сила компенсируется удвоением массы каждого элемента. [c.68] Поскольку плотность не фигурирует в окончательном результате, мы имеем произведение без размерности, составленное только из V, Л, g. Это произведение без размерности трех переменных, выраженное через три основные величины. В общем случае это невозможно, для этого требуются специальные соотношения между формулами размерностей переменных. [c.68] Составив произведение с неизвестными показателями и написав затем алгебраические уравнения, которым должны удовлетворять показатели, мы можем сразу видеть, что условие существования произведения без размерности с числом множителей, равным числу основных единиц, состоит в том, что детерминант показателей в формулах размерностей множителей равен нулю. Ясно, что это не ограничивается случаем трех основных единиц, но применимо к любому их числу. Обратно, условие того, что тот или иной элемент входит множителем в произведение без размерности с числом других множителей, равным числу основных единиц, состоит в том, что детерминант показателей других множителей не должен равняться нулю в противном случае остальные множители сами по себе составили бы произведение без размерности, в которое не входил бы интересующий нас множитель. [c.68] Рассмотрим теперь другую задачу. Имеется упругий маятник, осуществленный из невесомой пружины с упругой постоянной f и с подвешенным ящиком объема V, наполненным жидкостью с плотностью На массу жидкости в ящике действует тяжесть. Требуется найти выражение для периода колебаний. Как всегда, составляем таблицу величин и их размерностей. [c.69] Задача, очевидно, механическая, и мы имеем полное основание применять механическую систему единиц, причем размерных постоянных не будет. Переменные таблицы являются, таким образом, единственными, они совпадают с переменными, при помощи которых задача формулирована. Мы имеем пять величин при трех основных единицах. Поэтому должны существовать два произведения без размерности. Из предыдущей главы мы знаем, что для нахождения произведений без размерности мы должны решать систему алгебраических уравнений. [c.69] Полученный результат несомненно правилен, как ясно из вывода мы можем достигнуть, однако, и лучшего и добиться формы, где не останется неопределенной функции. Такое улучшение может быть получено увеличением числа основных единиц. Мы были правы, применяя обычные механические единицы, потому что уравнения движения подразумевают динамическую связь между силой, массой и ускорением. Изменение надо внести в направлении, не сразу бросающемся в глаза, поскольку мы привыкли к механическим единицам. Однако после некоторого размышления становится ясным, что в уравнениях движения, управляющих системой, мы не воспользовались тем фактом, что численная мера объема ящика равна кубу длины одного из его ребер. Физически вполне возможно измерять объемы через тот или иной объем, избранный в качестве единицы. Для этого надо разрезать большой объем на меньшие, конгруэнтные с единицей, и сосчитать число таких получившихся объемов. Затем можно доказать, что полученное таким образом число пропорционально кубу числа, измеряющего линейные размеры. Действительно, в этом состоит метод доказательства, принятый первоначально Евклидом при рассмотрении поверхностей и объемов. После того как геометрический факт доказан, естественно определить единицу объема как объем, равный кубу со сторонами, равными единице. Однако такое определение и ограничение имеет цену только для задач, в которых связь между объемом и длиной по существу входит в результат. В нашем случае это не так потому, что объем ящика важен только в сочетании с плотностью жидкости для определения массы ящика. Мы вполне можем измерять длину в этой задаче в дюймах, а объем в квартах, если только одновременно определить плотность как массу на кварту. [c.71] Сведения, содержащиеся в этом решении, очевидно, значительно больше, чем в менее определенном результате, полученном с тремя единицами. Из нового решения видно, например, что время колебания не зависит от ускорения тяжести, физически это, конечно, значит, что тяжесть влияет только на изменение среднего положения равновесия. При возрастании тяжести груз понижается и колеблется относительно положения, более близкого к центру притяжения. Период колебания при этом, однако, не меняется. Этот результат был вовсе не очевиден, или необходим при первой форме решения. Вместе с тем первое решение не противоречит второму, можно достигнуть их тождества, если положить неизвестную функцию равной некоторой постоянной, умноженной на обратный квадратный корень из аргумента. [c.72] Вместо увеличения числа основных единиц с трех до четырех, мы могли бы получить тот же результат, заметив, что в уравнениях движения фигурирует только полная масса на конце струны, а следовательно, объем и плотность могут влиять на результат только в виде произведения, т. е. массы. При таком способе решения мы могли бы связать V и с в одну величину и имели бы дело только с четырьмя величинами и тремя основными единицами. Мы получили бы при этом прежний результат. Таким образом, пользуясь специальными данными, касающимися задачи, часто можно получить более детальные сведения, чем при помощи общего анализа. [c.73] Еще раз мы получаем произведение без размерности с числом множителей, меньшим нормального. [c.73] Теперь наша таблица величин закончена, она состоит из трех физических переменных и двух размерных постоянных. [c.74] Здесь Г — размерный символ силы, измеряемой в единицах силы и V — размерный символ скорости. Формулы размерности составлены по обычным правилам, можно отметить только, что упругость пружины определена как сила, проявляемая пружиной при растяжении на единицу. [c.74] Если положить размерные постоянные / иг равными единице, как это имеет место в обычной механической системе единиц, мы получим прежний результат. [c.75] Хотя этот пример не дал новых результатов, он поучителен тем, что показывает допустимость любой системы основных единиц при условии введения соответствующих размерных постоянных. [c.75] Вернуться к основной статье