ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Размерные постоянные и число основных единиц из "Анализ размерностей" Существенный результат П-теоремы состоит в ограничении, налагаемом ею на число аргументов произвольной функции. Чем меньше аргументов, тем более ограничена функция, тем более исчерпывающий ответ мы получаем. Если в задаче четыре переменных и три основных единицы, то наш анализ показывает, что имеется единственное произведение без размерности, которое можно определить, и что некоторая функция этого произведения равна нулю. Это эквивалентно утверждению, что в данном частном случае само произведение является некоторой постоянной, и мы имеем полные сведения о характере решения за исключением численной величины постоянной. Такое решение мы имели в первой главе при рассмотрении задачи о маятнике. Без применения анализа размерностей всякое непротиворечивое соотношение между четырьмя аргументами могло казаться возможным, и мы не могли бы догадаться об истинном решении. Если число переменных на два больше, чем число основных, то будет два произведения без размерности, решением будет произвольная функция двух этих произведений, равная нулю. Эта функция может быть разрешена для одного из произведений в функции другого. С таким случаем мы встречались в задаче о теплопроводности. Разумеется, существенно знать, что решение имеет именно такую форму. Не применяя анализа размерностей, мы могли бы только утверждать, что существует некоторая функция пяти переменных, равная нулю. [c.57] Очевидно, в наших интересах, чтобы число аргументов, связанных функциональным соотношением, было минимальным. Переменные, входящие в уравнения, к которым применялся наш анализ, и являются всеми переменными, которые могут изменяться численно по условиям задачи. Эти переменные могут быть разделены на две группы. Первая группа — физические переменные, являющиеся мерой некоторых физических величин и могущие изменяться по величине во всей области. [c.57] Ко второй группе относятся другие аргументы, имеющие характер коэффициентов в уравнении, они не изменяют числовой величины, если меняется только физическая система, но приобретают иное значение при перемене размера основных измеряющих единиц. Мы назвали их размерными постоянными. В реальных случаях мы интересуемся только физической задачей и стремимся найти связь между физическими переменными величинами. Размерные постоянные должны рассматриваться только как неизбежное зло, терпимое постольку, поскольку они способствуют получить нужные сведения о физических переменных. [c.58] мы видим, что П-теорема применяется к агрегату физических переменных и размерных постоянных, причем нас интересуют прежде всего только физические переменные. Если число размерных постоянных столь велико, что число аргументов произвольной функции, допустимое П-теоремой, равно или больше числа одних физических переменных, то применение П-теоремы ничего не дает. [c.58] Мы уже видели, что в наихудшем возможном случае число размерных постоянных не может превышать числа физических переменных, ибо любое эмпирическое уравнение может быть сделано полным введением по одной размерной постоянной на каждую физическую переменную. Далее почти всегда число физических переменных равно или больше, чем число первичных единиц. Поэтому, если число размерных постоянных равно или больше числа физических переменных, то число произведений без размерности больше или равно числу физических переменных. В общем случае П-теорема не дает, следовательно, новых сведений. Поэтому крайне важно свести до минимума число размерных постоянных в уравнении. [c.58] Когда же следует ожидать размерных постоянных и каким образом в конкретной задаче узнать, что они собою представляют и каковы их формулы размерности Ответ тесно связан с выбором таблицы физических величин, между которыми мы ищем связи. Мы уже видели, что недостаточно спросить Зависит ли результат от той или другой физической величины . Мы видели, например, в одной задаче, что хотя результат несомненно зависит от действия атомных сил, однако мы обошлись без включения их в наш анализ, и они не вошли в функциональную зависимость. [c.58] Ответ на вопрос о том, какие переменные следует включать, требует большой физической опытности. Если мы хотим разобрать некоторую проблему методами механики, мы должны иметь достаточную уверенность, что задача действительно механическая и не содержит элементов, по существу не разрешимых при помощи обычных уравнений механики. Мы должны понять, какие стороны явления могут быть оставлены без внимания, а какие, наоборот, существенны для данного вопроса. Никто, конечно, не скажет, что в механической задаче атомные силы не имеют значения, но опыт показывает, что эти силы слагаются в некоторые комплексы, достаточно характеризуемые анализом, не опускающимся до рассмотрения деталей. Результаты такого анализа, пренебрегающего многими даже существенными сторонами положения, имеют силу при некоторых условиях, не слишком стеснительных. Опытность, проявляемая в суждениях такого рода, простирается столь далеко, что мы почти инстинктивно знаем, доступна ли данная задача механической трактовке, или нет. Если задача поддается механическому решению, мы знаем уже по самому определению смысла механической системы, какого рода уравнения соответствуют движению составных частей системы и какова форма этих уравнений. [c.59] Точно также по инстинкту мы угадываем, является ли система термодинамической, электрической или химической, и в каждом случае, зная смысл утверждения о той или иной природе явления, мы предусматриваем законы, управляющие изменениями системы, и элементы, которые нужно принять во внимание при формулировке соотношения. Потребовалось огромное накопление опыта нескольких поколений, прежде чем стало возможным сказать, что данная конкретная группа явлений есть механическая, электрическая или даже вообще физическая. [c.59] Я полагаю, что в сущности те же сведения, которые требуются для решения вопроса о механической и электрической природе системы, нужны и для анализа размерностей. Эти сведения подсказывают нам прежде всего, какие физические величины должны быть включены в таблицу, и затем позволяют определить, какие размерные постоянные требуются в данной задаче. [c.59] Проницательный наблюдатель (таким исторически впервые оказался Фурье (1)) замечает, что уравнение, посредством которого анализируется связь между частями системы, выражается в общей форме, остающейся справедливой при изменении размера основных единиц. Например, уравнение, утверждающее, что сила, действующая на ту или иную часть нашей механической системы, равна массе, умноженной на ускорение, справедливо для любых основных единиц, потому что в каждой системе единиц, применяемой для механических целей, единица силы определяется именно так, что выполняется указанная связь силы, массы и ускорения. Любое из основных уравнений движения является в том же смысле полным. Окончательное решение получается из уравнений движения чисто математически, без какого-либо отношения к размеру основных единиц. Отсюда следует вообще, что окончательный результат тоже будет полным, т.е. уравнение, выражающее окончательный результат есть полное уравнение. [c.60] В отношении формул размерности размерных постоянных мы можем только опираться на опыт, показывающий, что все такие постоянные имеют форму произведений основных величин в некоторых степенях. Небольшое размышление показывает, однако, что любой закон природы может быть выражен в форме, в которой формулы размерности постоянных будут относиться именно к этому типу. Для этого нужно воспользоваться уже известным нам приемом, вводя размерные постоянные в качестве множителей при измеряемых величинах таким образом, чтобы достигнуть полноты уравнения. Поэтому мы принимаем в дальнейшем, что уравнения движения (выражающие законы природы, управляющие явлениями) уже приведены к такой форме, что размерные постоянные относятся к указанному типу. Легко видеть, что это не вносит никаких реальных ограничений. [c.61] Отсюда ясно, что анализ размерностей по своему существу есть анализ анализа. Мы должны достаточно понимать ситуацию, чтобы судить об общем характере проблемы и об элементах, которые должны быть введены при составлении уравнений, определяющих движение (в общем смысле) системы. Зная характер элементов, можно получить некоторые сведения о необходимых свойствах соотношений, которые могут быть выведены путем математических манипуляций с элементами. [c.61] Мы можем доверять результатам, поскольку достоверны наши сведения о законах природы, с которыми приходится иметь дело в задаче, но результаты не могут содержать чего-либо, не имеющегося в уравнениях движения, и ни чем не отличаются от прочих наших знаний. Эти результаты приближенны настолько же, насколько приближенны законы движения. Такое ограничение определяется самой сущностью наших знаний. [c.61] Применяя анализ размерностей, нельзя задаваться вопросом От каких величин зависит результат , ибо этот вопрос никуда не приведет и непозволителен. Вместо этого надо представить себе, что мы действительно составляем уравнения движения по крайней мере до такой стадии, что в состоянии перечислить входящие элементы. Нет надобности фактически составлять уравнения и тем более их разрешать. Анализ размерностей дает тогда определенные сведения о необходимом характере результата. [c.61] В этом несомненное преимущество метода, ибо его результаты применимы к таким сложным системам, для которых мы не в состоянии написать уравнения движения со всеми деталями. [c.62] Необходимо особенно подчеркнуть, что результаты анализа размерностей не могут быть применены к системам, основные законы которых до сих пор не выражены в форме, независимой от размера основных единиц. Например, анализ размерностей несомненно оказался бы неприменимым к большинству результатов биологических измерений, хотя эти результаты могут обладать полной физической значимостью, как описание явлений. Нам кажется, что в настоящее время биологические явления могут быть описаны полными уравнениями только с помощью стольких же размерных постоянных, сколько имеется физических переменных. Мы видели, однако, что в этом случае анализ размерностей не дает никаких новых сведений. Овладение группой явлений природы и формулировкой их в виде законов до известной степени равносильно открытию ограниченной группы размерных постоянных, пригодных для координации всех явлений. [c.62] Применим этот взгляд на природу размерных постоянных к уже затронутой задаче об электромагнитной массе сферически распределенного электрического заряда. Это, разумеется, — электродинамическая задача, которую надо решать, пользуясь уравнениями поля. Уравнения поля содержат некоторые математические операторы, применяемые к определенным сочетаниям электрической и магнитной силы и к скорости света. В нашей частной задаче мы хотим решить уравнения в такой форме, чтобы определить электромагнитную массу. Это — объемный интеграл от некоторой постоянной, умноженной на плотность энергии, причем последняя определяется распределением сил, обусловливаемых распределением заряда. Если имеется соотношение, подозреваемой нами формы, то силы должны исключиться в окончательном результате. Нет, однако, оснований думать, что характеристическая постоянная с уравнений также элиминируется. Мы должны, следовательно, искать связи между общим зарядом, массой, радиусом и константой уравнения поля, т.е. скоростью света. Такое соотношение нами уже найдено и сверено с результатами детального решения уравнений поля, примененных к данной проблеме. [c.62] например, на опыте мы находим, что масса, умноженная на ускорение, пропорциональна силе, действующей на нее. В этом экспериментальном утверждении не содержится ограничений в отношении единиц массы, длины, времени и силы. Фактор пропорциональности будет меняться по числовому значению при изменении размеров каждой из основных единиц. Вместо того, чтобы заниматься скучным делом непрерывного изменения фактора пропорциональности, можно произвольно потребовать, чтобы он равнялся единице во всех системах, которые мы будем рассматривать этого результата можно достигнуть, определив единицу силы в нашей новой системе так, что бы сила, действующая на тело, равнялась массе, умноженной на ускорение. Таким образом мы получим систему единиц, приспособленную к операциям со всеми физическими системами, в которых законы движения содержат утверждение о физической связи между силой, массой и ускорением. Но если бы физическая система была таковой, что указанное соотношение не входило в движение системы, мы бы бесполезно ограничили себя, применяя механическую систему единиц. [c.63] По общему вопросу о рациональном числе основных единиц можно указать заметки. [c.64] Вернуться к основной статье