ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Вейвлеты из "Турбулентность - модели и подходы Ч 2" В самых разных областях науки возникают задачи, связанные с анализом пространственных полей со сложной, многомасштабной структурой либо временных сигналов с меняющимся со временем спектральным составом. Эти задачи заставляли исследователей делать попытки построения специальных функциональных разложений, близких по своей идеологии описанному выше иерархическому базису. Центральной идеей всех этих подходов было использование базиса, каждая функция которого характеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так и место ее локализации в физическом пространстве (во времени). [c.87] Первая попытка построить функциональный базис, состоящий из функций, каждая из которых характеризует пульсации определенной продолжительности в определенный момент времени, принадлежит А.Хаару (1909г.). Первые семь функций Хаара, построенные на единичном отрезке, показаны на рис.6.14. Каждая функция представляет собой пару следующих друг за другом прямоугольных импульсов с разными знаками и одинаковой длительностью. Среднее значение любой функции равно нулю, а совокупность функций образует полный ортонормированный базис. Каждая функция строго локализована в физическом пространстве (во времени), но характеризуется медленно спадающим спектром частот (как 1/у ). [c.88] Важным этапом в развитии идеи локального анализа спектральных (частотных) свойств стало преобразование Габора (1946г.), называемое также фурье-пре образованием в окнах. Функции Габора представляют собой гармонический сигнал, модулированный функцией Гаусса. Они хорошо локализованы и во времени и в частотах, но каждая функция Габора характеризуется тремя параметрами положением центра окна о, шириной окна X и частотой осцилляций у (рис.6.15). При этом функции различного масштаба не являются подобными (имеют различное число осцилляций). [c.88] Вейвлеты объединили в себе два важных свойства - подобие и выраженную локализованность в физическом и фурье-пространствах. Сформулируем требования, которым должно удовлетворять семейство функций, чтобы быть вейвлетами. [c.88] Таким образом, вейвлеты образуют двухпараметрическое семейство функций, в котором параметр а отвечает за масштаб ф астяжение) функции, а параметр Ь - за ее положение (сдвиг). [c.89] Согласно последнему требованию и функции Хаара и функции Литлвуда - Пелли не попадают под определение вейвлетов. По сути, они являют собой два предельных случая (в одном случае резкие границы в физическом пространстве приводят к бесконечным в принципе хвостам в пространстве частот и, наоборот, обрыв в пространстве частот дает длинные хвосты в физическом пространстве в другом). [c.89] На рис.6.16,6 сплошной линией показана его вещественная часть, а пунк-триной - мнимая. Сама функция (6.49) совпадает с видом функций, используемых в преобразовании Габора, но семейство вейвлетов отличается от функций Габора тем, что один раз выбрав частоту соо для анализирующего вейвлета и задав тем самым число осцилляций, мы в дальнейшем сжимаем или растягиваем функцию как целое, не нарушая подобия отдельных функций семейства. [c.90] Вернуться к основной статье