ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Иерархический базис для турбулентных полей из "Турбулентность - модели и подходы Ч 2" Рассматривая численные методы решения уравнений движения жидкости, мы говорили о том, что чаще всего для этих целей используются либо сеточные, либо спектральные методы, либо их комбинация. И те, и другие можно отнести к проекционным методам решения уравнений в частных производных, когда для решения используют проекции всех полей на функциональные базисы. [c.71] Зимин В.Д. Иерархическая модель турбулентности // Известия АН СССР Физика атмосферы и океана. [c.71] Зимин В.Д., Фрик П.Г. Турбулентная конвекция. М. Наука, 1988. 178 с. [c.71] Спектральные методы используют разложение по фурье-гармоникам. В этом случае каждая базисная функция описывает, по сути, систему когерентных вихрей, занимающую все пространство. В таком представлении очень просто описать вихрь, занимающий всю область, или периодическую систему вихрей - и в том, и в другом случае достаточно одной базисной функции. Однако, если требуется описать отдельный вихрь, занимающий малую часть рассматриваемой области, то потребуется весь гармонический ряд. [c.72] Выше уже обсуждались и преимущества и недостатки обоих методов с точки зрения решения уравнений гидродинамики. Сеточные методы эффективны при вычислении нелинейных членов, так как позволяют выразить значение в точке через небольшое число соседних точек, но приводят к большим затратам машинного времени при решении уравнения Пуассона, требующего построения итерационного процесса, в который вовлечены все точки области. Спектральные методы, наоборот, делают решение уравнения Пуассона тривиальным, но приводят к очень сложной структуре нелинейных членов. [c.72] Проблемы двух функциональных базисов связаны с их локализован-ностью в физическом и в фурье-пространствах. Сетки строго локализованы в физическом пространстве, но спектр точки (дельта-функции) есть белый шум. Это означает, что функции делокализованы в пространстве Фурье. Обратная ситуация возникает при разложении Фурье. Каждая гармоника представляет строго одну частоту, но соответствующая ей функция занимает все физическое пространство. [c.72] В турбулентном потоке сосуществуют вихри самого различного масштаба, но наиболее эффективные взаимодействия происходят между вихрями (структурами), близкими и в физическом, и в фурье-пространстве. Первое очевидно - чтобы вихри взаимодействовали, они должны перекрываться в пространстве. Второе утверждение составляет основу концепции каскадных процессов - взаимодействуют вихри сравнимых размеров (если размеры не сопоставимы, то маленькие вихри просто переносятся большими без обмена энергией). Это заставляет обратиться к поиску специальных функций, более точно соответствующих структуре турбулентного потока. [c.72] В теории турбулентности важную роль играет идея масштабного подобия. Это значит, что искомый базис должен быть составлен из подобных функций. [c.73] Еще один недостаток использования рядов Фурье состоит в низкой информативности высоких частот. Хорошо понятен смысл рассмотрения вихрей с характерным размером L, L/2, L/3. но отдельное описание масштабов L/957, L/958, L/959. и т.д. мало оправдано. Это соображение наводит на мысль о необходимости использования функций, масштаб которых изменяется прогрессивно - такое соотношение получается при равномерном разбиении пространства масштабов в логарифмическом представлении. [c.73] Попробуем построить базис, удовлетворяющий этим требованиям. Построения будем проводить для двумерного случая, так как это упрощает иллюстрацию результатов и запись функций. [c.73] Каждая кольцевая зона включает, таким образон одну октаву волновых чисел (напомним, что октавой называется интервал, в пределах которого частота изменяется в два раза). [c.74] удовлетворить всем приведенным требованиям не удается. Задача имеет решение в такой постановке только в одномерном случае. Одномерный базис, конечно, не имеет интереса с точки зрения описания турбулентности, но его построение представляет методический интерес и мы его проведем. [c.75] Базисные функции имеют двойную индексацию. Большой индекс отвечает за масштаб, малый - за положение функции в пространстве. Увеличение индекса на единицу сжимает функцию вдвое, увеличение индекса п на единицу сдвигает функцию вдоль оси д на величину /гд,. [c.77] Исходя из локальной изотропии мелкомасштабной турбулентности и стремления получить базис, образованный разномасштабными, но однотипными функциями, построим относительно простой, но не совсем ортогональный базис. [c.77] При вычислении (6.21) учли, что есть площадь кольцевой области (6.1). Формула (6.21) отражает тот факт, что число вихрей при переходе от масштаба к масштабу растет в четыре раза (естественно, что в трехмерном случае это отношение будет равно восьми). [c.79] Подчеркнем, что суммирование в (6.22) ведется по всем масштабам, большим данного. [c.79] Здесь - единичный вектор, направленный вдоль одной из осей координат, а /л, ( ) - скалярная функция с шаровой симметрией. [c.80] Вернуться к основной статье