ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Теорема Саймона — Спенсера — Фрелиха о существовании спонтанной намагниченности в классической модели Гейзенберга из "Теория фазовых переходов Строгие результаты" Устремив тп оо, получим, что P g = РШ), т. е. инвариантность Р относительно С. Таким образом, дело сводится к доказательству (3.3). [c.113] Идея доказательства неравенства (3.3) состоит в следуюш ем. Мы хотим показать, что условная плотность распределения вероятности конфигурации gф(Fl) при фиксироваппой конфигурации ф( т+1) почти не зависит от д. Справедливо более сильное утверждение, которое мы сейчас приведем и доканаем. [c.113] Ниже мы будем опускать ф( т+1) в Р -1ф( -ц) п писать просто Р. [c.114] Теперь, имея в виду (3.7) и последнюю оценку, для доказательства (3.4) достаточно воспользоваться следующей леммой. [c.117] Пусть р1(ё ),. .ри( ) — плотности распределений вероятностей на единичной окружности С. [c.117] Предположим, что p,(g) СУ/, / = 1, 2,. .т, с некоторой константой С. [c.118] ЧТО И требовалось доказать. Тем самым (3.3) и теорема полностью доказаны. [c.120] например, С — тор, т. е. прямое произведение конечного числа окружностей ( = ( г и С действует на пространстве Ф. Поскольку гамильтониан инвариантен относительно каждого Оц то из доказанной теоремы всякое предельное распределение Гпббса Рц будет инвариантно относительно С. На основании этого замечания покажем, что в двумерной модели Гейзенберга не происходит спонтанного нарушения симметрии, т. е. не существует предельных распределений Гиббса, не инвариантных относительно группы С. [c.120] Мера и потенциал V инвариантны отпосительно действия группы С =. СХй) — группы собственных вращений в -мерном евклидовом пространстве Мы докажем следующее следствие из доказанной теоремы. [c.120] Следствие. В двумерной модели Гейзенберга любое предельное распределение Гиббса Р инвариантно относительно 0 = 80(й) при любом р. [c.120] Пусть Сг — группа вращений Я,-, тогда С = . .. [c.121] Условия теоремы могут быть несколько ослаблены. Условие конечности радиуса взаимодействия можно заменить условием экспоненциального убывания взаимодействия. Условия дифференцируемости, вероятно, существенны. [c.121] Е — знак математического ожидания по отношению к распределению Ру ). [c.122] Тогда ф Ч/)) = ф 4—р), Жф Ч/))ф Чр )) = = О, если р + р ФО (то(12л). [c.122] Полагая = o, получим утверждение теоремы. [c.123] Основная лемма доказана. [c.126] Доказательство леммы 2 мы не приводим, так как оно содержится в книге И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна Введение в теорию линейных песамосопряженных операторов .— М. Паука, 1965 (см. формулу (7.5) на стр. 121 этой книги). [c.130] Вернуться к основной статье