ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Предельные распределения Гиббса из "Теория фазовых переходов Строгие результаты" Поля Янга — Миллса естественно представлять себе следующим образом. Пусть в каждой точке решетки Z имеется и-мерное евклидово пространство Я (ж). Будем рассматривать ср(1), Z = (ж, у) как преобразование, устанавливающее изометрию пространств Ё Чх) и R iy), а всю конфигурацию ф = ф( ) как связность во всем множестве этих пространств. Гамильтониан Я не меняется, если любое пространство R [x) подвергнуть автоморфизму, порождаемому элементом g x). [c.17] Этот интеграл называется статистической суммой. [c.18] В случае конечного радиуса взаимодействия или компактного пространства Ф энергия конфигурации ф в объеме V Яу(ф) имеет смысл для любой конфигурации ф(ж), а е е 2. [c.18] Заметим, что такому же равенству удовлетворяют почти всюду условные вероятности р(ф(7) ф(2 — 7)), отвечающие любому распределению вероятностей Р на 2. [c.18] Следующее определение является центральным определением всей теории. [c.18] Иными словами, с Р-вероятностью 1 это условное распределение является условным распределением Гиббса при граничном условии ф(2 — V). [c.19] Если Ф компактно, радиус взаимодействия конечен и все функции 3(ф(У)) непрерывны, то (1.1) —(1.3) имеют смысл для всякой конфигурации ф(2 — V). В то же время общая теория вероятностей гарантирует существование условных вероятностей лишь почти всюду. Таким образом, определение 1.3) требует, чтобы выражение, определенное почти всюду, совпадало с выражением, определенным всюду. Это обстоятельство связано с тем, что теория меры всегда строится с точностью до множеств меры О . [c.19] Основная проблема равновесной статистической физики — описать для данного гамильтониана все отвечающие ему предельные распределения Гиббса. Эта проблема полностью решается лишь в отдельных сравнительно простых случаях. По существу, все последующее содержание книги посвящено изложению ряда известных строгих результатов, относящихся к этой проблеме. [c.19] Определения 1.2, 1.3 допускают естественное расширение. Пусть (д-о — произвольная вероятностная мера на пространстве . Для любого конечного множества V введем условные распределения [Хо -1ф 2 — У)), заданные на пространстве конфигураций 2(У). Опять-таки эти распределения определены только [Хо-почти всюду. [c.19] Здесь l, С2 — произвольные измеримые подмножества в пространствах Q(Fi), Q(F2) соответственно, dHo( (F2 — Fl)iф(Z — V2)) — условное распределение вероятностей на конфигурациях ф(F2 — Vi) при фиксированной конфигурации ф(Z — F2). [c.20] В качестве меры )io можно взять предельные распределения Гиббса, отвечающие потенциалу с конечным радиусом взаимодействия. По существу, определения 1.3, 1.3 указывают естественный способ перехода от одной вероятностной меры к другой. [c.20] ТТ X (Ф ( )) имеет вид 5 ехр —Я(ф(7)) . [c.21] Вернуться к основной статье