ПОИСК Статьи Рисунки Таблицы Плоскопараллельные и осеснмметричные течения из "Лекции по основам газовой динамики" Первое свойство функции тока состоит в том, что она постоянна вдоль каждой линии тока. Это очевидно, так как непосредственно из определения (7) следует равенство Осф = 0. [c.220] Величина Q(ifi, ii 2) называется расходом газа между линиями тока и 2- Равенство (10) показывает, что это определение корректно, так как в силу (10) расход Q 5 i,. 2) не зависит от выбора сечения. [c.221] Соот1юшение (11) и выражает второе свойство функции тока расход газа между двумя линиями тока равен приращению функции тока. Из него следует, что в области непрерывного течения функция тока различает линии тока в том смысле, что на разных линиях тока она необходимо имеет разные значения. [c.221] Замечание 1. Каждое безвихревое изэнтропическое течение является изо-энергетически. 1 (см. 10), т.е. в нем константа в инте1рале Бернушш (13) не зависит от ф. Этот факт легко проверяется непосредственно, дифференцированием соотношения (13) по а и у с использованием уравнений (2) и (14). [c.224] Уместно вспомнить, что анализ типа уравнений любых установившихся течений уже был выполнен в 10. Он легко повторяется для системы (23) и показывает, что она имеет эллиптический тип на дозвуковых течениях и гиперболический тип на сверхзвуковых течениях (см. определение 10.3). Это различие существенно, оно с необходимостью влечет, различие в постановках, методах исследования и решениях краевых задач. Более подробный анализ каждого типа течений и соответствующих задач будет проводиться в следующих парафафах. Здесь же внимание концентрируется на тех фактах, которые априори с типом системы (23) не связаны. [c.225] Уравнениям (23) можно придать множество равносильных форм, каждая из которых имеет свои преимущества при анализе тех или иных конкретных задач об отыскании газовых течений. Дальнейшее изложение посвящено выводу и предварительному изучению наиболее важных эквивалентных форм записи основных уравнений (23). [c.225] Определение 1. Плоскость Е и,ь) называется плоскостью годографа. Для каждого течения, заданного формулами (30), годографом любого, содержащегося в области течения, множества точек плоскости Е х,у) называется образ этого множества при отображении (30) на плоскость Н и,у). В частности, определен годофаф любой точки, линии или области. [c.227] На плоскости годографа вектор скорости и изображается радиус-вектором точки [и, у), приложенным в начале координат. Ясно, что в силу интеграла Бернулли (24) годофаф любого течения содержится внутри круга радиуса дт с центром в начале координат (рис. 2). При этом все дозвуковые течения попадают внутрь круга радиуса с , а все сверхзвуковые течения — в кольцо с, ц дт (см. замечание после определения 10.3). Окружность д = Цт является годографом состояний вакуума. [c.227] В нуль или нет. Как известно, тождество J = О равносильно существованию функциональной зависимости между функциями (30). Но если в некоторо.м течении и = F[v) (или v = F u)), то согласно определению 13.1 это течение есть простая волна. Поэтому важно Г1айти и исследовать все решения — простые волны системы (23). В случае и = О множество простых волн достаточно обширно и будет подробно изучено в 24. [c.228] Простые волны осесимметричных течений. В случае и = 1 система (23) имеет точное решение и =- О, v = v y), принадлежащее классу простых волн. Оно описывает двумерный источник газа и получается с помощью интеграла уравнения неразрывности (2) в виде соотношения, аналогичного (11.25), а именно, ypv -- Q = onst. Качественная картина течения в двумерном источнике такая же, как и для сферического (см. рис. 11.2). [c.228] Все остальные простые волны описываются следующей теоремой, в которой предполагается, что решение не является постоянным или решением типа источника. [c.228] что во всех случаях годофаф области, занимаемой простой волной, на плоскости течения есть линия на плоскости годографа. Поэтому в области простой волны отображение (30) не однолистно. Следовательно, за исключением постоянных течений и простых волн, течение общего характера отображается на плоскость годофафа локально взаимно однозначно. В таких течениях величины и и v могут быть приняты в качестве независимых переменных. [c.229] Уравнения на плоскости годографа. Метод годофафа и состоит в рассмотрении определяющих течение величин как функций переменных годографа (u.v). Существует несколько вариантов получения преобразованных уравнений (23) на плоскости годофафа, каждый из которых имеет свои преи.мущества и недостатки. Ниже излагаются два наиболее часто используемых варианта такого преобразования. [c.229] Непосредственно видно, что система дифференциальных уравнений (35) в случае i/ — О является линейной, но остается нелинейной, если i/ = I. В этом факте коренится принципиальное различие описания плоскопараллельных и осесимметричных течений. [c.230] Переход от к Ф согласно равенству (38) называется преобразованием Лежандра. [c.230] Уравнения С. А. Чаплыгина. Другой вариант преобразования системы (23) на плоскость годофафа состоит в том, что в качестве искомых величин берутся потенциал скоростей р и функция тока ф. Это преобразование особенно эффективно в случае плоскопараллельных течений, для которых оно и дастся ниже. [c.231] Уравнения (46) и (47) называются уравнениями Чаплыгина. [c.232] Эти группы можно использовать как для преобразований одних решений в другие (см. 8), гак и для отыскания классов инвариантных решений (см. 12) системы (23). Например, фуппа переносов по х порождает (в случае и = 1) течение, аналогичное рассмотренному в 11 течению от источника. Поэтому нетривиальным может быть только решение, инвариантное относительно группы (54). В соответствии с определением 13.2 эта группа порождает коническое автомодельное решение вида (32), которое является простой волной. Тем самым при любом и у систе.мы (23) существуют решения, которые будут называться автомодельньши простыми волнами. Эти решения и исследуются ниже. [c.234] Тем самым па плоскости годографа получаются два семейства кривых (в зависимости от выбора знака в правой части), зависящих от параметра во- Так как в есть полярный угол на плоскости годографа, то все кривые, соответствующие фиксированному знаку в (59), получаются из одной (например г = 0о = 0) поворотом вокруг начала координат на угол во. Кроме того, кривые в = м(( ) получаются одна из другой зеркальным отражением относительно оси и = О (заменой в на -в). Поэтому фактически есть одна стандартная кривая, например в = -ц д)- На рис. 5 эта кривая показана жирной линией, а остальные кривые семейства (59) — тонкими линиями. [c.236] Вернуться к основной статье